增廣矩陣

增廣矩陣，又稱廣置矩陣，是在線性代數中係數矩陣的右邊添上線性方程組等號右邊的常數列得到的矩陣，如：方程${\displaystyle AX=B}$係數矩陣為${\displaystyle A}$，它的增廣矩陣為${\displaystyle (A|B)}$。方程組唯一確定增廣矩陣，通過增廣矩陣的初等行變換可用於判斷對應線性方程組是否有解，以及化簡求原方程組的解。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣
向量 標量 · 向量 · 向量空間 · 向量投影 · 外積（叉積 · 七維叉積） · 內積（點積） · 二重向量 矩陣與行列式 矩陣 · 行列式 · 線性方程組 · 秩 · 核 · 跡 · 單位矩陣 · 初等矩陣 · 方塊矩陣 · 分塊矩陣 · 三角矩陣 · 非奇異方陣 · 轉置矩陣 · 逆矩陣 · 對角矩陣 · 可對角化矩陣 · 對稱矩陣 · 反對稱矩陣 · 正交矩陣 · 幺正矩陣 · 埃爾米特矩陣 · 反埃爾米特矩陣 · 正規矩陣 · 伴隨矩陣 · 余因子矩陣 · 共軛轉置 · 正定矩陣 · 冪零矩陣 · 矩陣分解 （LU分解 · 奇異值分解 · QR分解 · 極分解 · 特徵分解） · 子式和餘子式 · 拉普拉斯展開 · 克羅內克積 線性空間與線性變換 線性空間 · 線性變換 · 線性子空間 · 線性生成空間 · 基 · 線性映射 · 線性投影 · 線性無關 · 線性組合 · 線性泛函 · 行空間與列空間 · 對偶空間 · 正交 · 特徵向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
閱 論 編

使用範例

增廣矩陣通常用於判斷矩陣的有解的情況，下列${\displaystyle A}$為線性方程組的係數矩陣，${\displaystyle (A|B)}$為增廣矩陣：

• 若${\displaystyle \operatorname {rank} (A)<\operatorname {rank} (A|B)}$，方程組無解。
• 若${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A|B)=n}$，方程組有唯一解。
• 若${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A|B)<n}$，方程組無窮解。
• ${\displaystyle \operatorname {rank} (A)>\operatorname {rank} (A|B)}$不會發生，因為增廣矩陣的秩大於等於係數矩陣的秩。

對於如下方程組：

${\displaystyle {\begin{cases}x+2y+3z=0\\3x+4y+7z=2\\6x+5y+9z=11\end{cases}}}$

係數矩陣為：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}}}$

增廣矩陣為：

${\displaystyle (A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right]}$

參考資料

• 同濟大學數學系．工程數學線性代數（第五版）．北京市西城區德外大街4號：高等教育出版社，2011-11：P64．

參見

• 高斯消元法