選擇公理
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選擇公理(英語:Axiom of Choice,縮寫AC)是數學中的一條集合論公理,用來證明一些難以明確構造的物件的存在性。選擇公理最早於1904年,由恩斯特·策梅洛為了證明良序定理而作為一條公理加入[1]。
非正式地說,給定一些盒子(可以是無限個),每個盒子中都含有至少一個小球,這時選擇公理相當於是在說——可以從每個盒子裡拿出一顆球。在很多情況下這樣的選擇並不需要藉助選擇公理;尤其是在「盒子個數有限」或「盒子內的球具有額外的特徵」這兩種情況下,經常可以直接指明選擇的方式。關於「存在具體的選擇方式」可以透過以下例子理解:假設有許多(甚至是無限)雙鞋子,則可以選取每雙鞋左邊的鞋子構成一個具體的選擇,由於在鞋子之中「存在具體的選擇規則」(左邊的鞋子不同於右邊的鞋子),所以即使沒有選擇公理也依然可以做出具體的選擇。但是,如果把鞋子改成襪子,且每雙襪子都沒有可區分的特徵,在這種情況下,「選擇的存在性」只能通過選擇公理得到。
儘管曾經具有爭議,選擇公理現在已經被大部份數學家毫無保留地使用着[2],例如帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論(ZFC)。數學家們使用選擇公理的原因是,有許多被普遍接受的數學定理,比如是吉洪諾夫定理,都需要選擇公理來證明。現代研究集合論的數學家也研究與選擇公理相矛盾的公理,例如決定公理。
在一些構造性數學的理論中會避免選擇公理的使用,不過也有的將選擇公理包括在內。