集合族
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在集合論和有關的數學分支中,給定集合S 的子集的類F 叫做S 的子集族(或稱S 上的集合族)。更一般的說,無論什麼任何集合的類都叫做集合族。
例子
- 冪集P(S )是在S 上的集合族。
- n元素集合S 的k 元素子集S (k )形成了集合族。
- 所有序數的類Ord是「大」集合族;它自身不是集合而是真類。
- 令S = {a,b,c,1,2}。(在多重集含義上的) S 上集合族的一個例子是當 A1 = {a,b,c},A2 = {1,2},A3 = {1,2},A4 = {a,b,1} 時的 F = {A1, A2, A3, A4}。
- 樣本空間的某些子集組成的集合叫做集合族。
特例
- 斯伯納族(英語:Sperner_family)是一個其中任何集合都不是其他集合的子集的集合族。斯伯納定理(英語:Sperner%27s_theorem)限定了斯伯納族的最大階。
- 赫利族(英語:Helly_family)是一個任何交集為空的最小子族的階有界的集合族。赫利定理(英語:Helly%27s_theorem)表明,有限維歐幾里得空間中的凸集形成了赫利族。
性質
C族
最簡單的集合族是由有限集M 的全體子集所構成的,簡稱為C 族。[2]C 族有以下基本的性質:
設,則集合M 的全部子集構成的類M* 的階為
,
即