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自然數集合中的數字(澄清是否包含零,使用Q28920044或Q28920052) 来自维基百科,自由的百科全书
自然數(natural numbers)按ISO 80000-2和ISO 2382定義,指非負整數 [1][2];此定義相同於集合論和計算機科學領域中,認為0屬於自然數。但在數論領域中,認為0不屬於自然數,因而按數論描述,自然數會同義於正整數。為免歧義,可直接以術語「非負整數」代替自然數稱之。
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各式各樣的數 |
基本 |
延伸 |
其他 |
數學家們使用或來表示所有自然數的集合。較早的教科書也有使用來表示這一集合的情況。[3]
為了消除是否包含0的歧義,有時通過上、下標的形式表示集合中是否包含0:[4]
基於序數理論提出的皮亞諾公理可以得到自然數的許多特性,這五條公理用非形式化的方法敘述如下:
其中,一個數的後繼數指緊接在這個數後面的數,例如,0的後繼數是1,1的後繼數是2等等;公理5保證了數學歸納法的正確性,從而被稱為歸納法原理。
在基數理論中,集合論的一般做法是將0定義為空集後,將任一非零自然數看作是所有比該數小的自然數組成的集合,即
通過無窮公理,可以得到存在一個只包含全體自然數的自然數集。
另外,在此定義下,在集合內就有個元素;而若小於,則會是 的子集。
自然數的集合是無限集。根據定義,這種無限稱為可數無限。可以與自然數建立雙射關係的所有集合都具有這種無限性,稱作,這個集合的勢為。
自然數加法可經及遞歸定義而成。因而得出交換幺半群,是由生出的自由幺半群,其中幺元為。此幺半群服從消去律,可嵌入一群內:最小的是整數群。
同理,自然數乘法可經及 得出。
而亦是交換幺半群;和符合分配律:
我們說當且僅當有自然數使得。是一個良序集,即每個非空子集都有一個最小的自然數。
此序也和加法及乘法兼容,即若,和都是自然數且,則及。
給定兩個自然數和,其中,可找到唯一的兩個自然數及使得
自然數由數數而起。古希臘人最早研究其抽象特性,當中畢達哥拉斯主義更視之為宇宙之基本。其它古文明也對其研究作出極大貢獻,尤其以印度對0的接受,為人稱道。
零早於公元前400年被巴比倫人用作數字使用。瑪雅人於公元200年將零視為數字,但未與其它文明有所交流。現代的觀念由印度學者婆羅摩笈多於公元628年提出,經阿拉伯人傳至歐洲。歐洲人一開始仍對零作為數字感到抗拒,認為零不是一個「自然」數。不過歷史上也有人把0包括在自然數之內,例如這兩本18世紀的法國書籍[5][6]。
19世紀末,集合論者給自然數一個較嚴謹的定義。據此定義,把零(對應於空集)包括於自然數內更為方便。邏輯論者及計算機科學家,接受集合論者的定義。而其他一些數學家,主要是數論學家,則依從傳統把零拒之於自然數之外。
在全球範圍內,目前針對0是否屬於自然數的爭論依舊存在。
在中國大陸,2000年左右之前的中小學教材一般不將0列入自然數之內,或稱其屬於「擴大的自然數列」[7]。在2000年左右之後的新版中小學教材中,普遍將0列入自然數。[8][9]
認為自然數不包含零的其中一個理由是自然數所指為自然界中存在的數,例如一棵大樹、兩條魚、十億個細胞等等,而鮮少有人說零個物品。
國際標準ISO 31-11:1992《量和單位 第十一部分:物理科學和技術中使用的數學標誌與符號》(已被ISO/IEC 80000-2取代)中,從集合論角度規定:符號 所表示的自然數集是包括正整數和0。
中國大陸於1993年制定的強制性國家標準《物理科學和技術中使用的數學符號》(GB 3102.11-93)參照國際標準ISO 31-11規定:表示「非負整數集;自然數集」,。但自2017年3月23日起,該標準轉化為推薦性標準,不再強制執行。[10]
自然數用於計數時稱之為基數,用於定序時稱之為序數。基數用於判定集合的大小,序數用作排列。
對於有限序列或有限集合,序數及基數皆與自然數同。
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