餘數

在算術中，當兩個整數相除的結果不能以整數商表示時，餘數便是其「餘留下的量」。當餘數為零時，被稱為整除。

自然數的餘數

如果 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle d}$ 是兩個自然數，${\displaystyle d}$ 非0，可以證明存在兩個唯一的整數 ${\displaystyle q}$ 和 ${\displaystyle r}$ ，滿足 ${\displaystyle a=q*d+r}$ 且 ${\displaystyle 0\leq r<d}$ 。其中， ${\displaystyle q}$ 被稱為商數， ${\displaystyle r}$ 被稱為餘數。帶餘除法是一個關於如何計算餘數的算法，其中提供了對此結果的證明。

例子

• 13除以10，商為1，餘數為3，${\displaystyle 13=1*10+3}$或${\displaystyle 13\div 10=1\dots 3}$。
• 26除以4，商為6，餘數為2，${\displaystyle 26=6*4+2}$或${\displaystyle 26\div 4=6\dots 2}$。
• 56除以7，商為8，餘數為0，${\displaystyle 56=8*7+0}$或${\displaystyle 56\div 7=8\dots 0}$。
• 9除以10，商為0，餘數為9，${\displaystyle 9=0*10+9}$或${\displaystyle 9\div 10=0\dots 9}$。

一般整數的餘數

如果 ${\displaystyle a}$ 與 ${\displaystyle d}$ 是整數，${\displaystyle d}$ 非零，那麼餘數 ${\displaystyle r}$ 滿足這樣的關係：

${\displaystyle a=qd+r}$ , ${\displaystyle q}$ 為整數，且${\displaystyle 0\leq \left\vert r\right\vert <\left\vert d\right\vert }$。

當這樣定義時，可能導致兩種可能的餘數。例如，除法式子${\displaystyle {\frac {-42}{-5}}}$的可以表達為

${\displaystyle -42=9\times (-5)+3}$（在數學工作者中使用較多）

或

${\displaystyle -42=8\times (-5)+(-2)}$.

即餘數可能是3或−2。

這種對餘數不明確的定義可能導致嚴重的計算問題，對於處理關鍵任務的系統，錯誤的選擇會導致嚴重的後果。在一些組合語言系統中，會有特殊的除法指令，設定餘數和被除數同號。

在上面的例子，負餘數為正餘數減5得來，5即是除數 ${\displaystyle d}$ 。通常，當除以 ${\displaystyle d}$ 時，如果正餘數為${\displaystyle r_{1}}$，負餘數為${\displaystyle r_{2}}$，那麼

${\displaystyle r_{2}=r_{1}+d}$。

Python 2.7語言定義的除法中，不能整除的情況下，餘數與除數同號，例如${\displaystyle {\frac {-42}{-5}}}$表達為

${\displaystyle -42=8\times (-5)+(-2)}$

而 ${\displaystyle {\frac {42}{-5}}}$ 則表達為

${\displaystyle 42=(-9)\times (-5)+(-3)}$

實數的餘數

當 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle d}$ 是實數，且 ${\displaystyle d}$ 非零，${\displaystyle a}$ 除以 ${\displaystyle d}$ 會得到另一個實數（商），沒有所謂的剩餘的數.但如果要求商為一個整數，則餘數的概念還是有必要的。可以證明：存在唯一的整數商 ${\displaystyle q}$ 和唯一的實數r 使得：${\displaystyle a=qd+r}$, ${\displaystyle 0\leq r<\left\vert d\right\vert }$。在整數除法裡，餘數可以要求為負，即滿足關係：${\displaystyle -\left\vert d\right\vert <r\leq 0}$。

如上在實數範圍內擴展餘數的定義在數學理論中並不重要；儘管如此，很多程序語言都實現了這個定義—參同餘。

參見

• 整除
• 中國剩餘定理
• 同餘
• 輾轉相除法