基 (線性代數)

在線性代數中，基（英語：basis，又稱基底）是向量空間裡某一群特殊的向量（稱為基向量），使得向量空間中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的線性組合（或線性組合的極限）。

在R²中標準基的圖示。紅藍向量是這個基的元素。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

通過基底可以直接地描述向量空間 ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 上定義的線性映射 ${\displaystyle f}$ ，詳請參見線性映射#矩陣一節。

定義

Hamel基

Hamel基的定義 — ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 是定義在域 ${\displaystyle K}$（也就是標量的母空間，如實數系 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或複數系 ${\displaystyle \mathbb {C} }$）上的向量空間，如果 ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的子集 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 滿足：

1. ${\displaystyle 0_{V}\notin {\mathfrak {B}}}$ （也就是零向量不會在 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 裡）
2. 若 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ 且 ${\displaystyle v\neq 0_{V}}$，則存在唯一的一組相異向量 ${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}}$ 和唯一的一組非零標量 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}$ 使得 ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot e_{1}+\lambda _{2}\cdot e_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot e_{n}=v}$ 。

則稱 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 是向量空間 ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的一組Hamel基。${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 裡的元素被稱為基向量 ，若基向量的總數是有限個，${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 則會被稱為有限基或直接簡稱為基。

上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條^[1]：

線性無關(linear independence)	對任意相異的${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}}$ 和任意的 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}$，若 ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot e_{1}+\lambda _{2}\cdot e_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot e_{n}=0_{V}}$，則${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\ldots =\lambda _{n}=0_{K}}$
生成律(spanning property)	對任意${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$，存在相異向量 ${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}}$和標量 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}$ 使得 ${\displaystyle \lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}=v}$

等價性來自於線性無關：

若有第二組相異 ${\displaystyle E_{1},\,E_{2},\,\ldots ,\,E_{m}\in {\mathfrak {B}}}$ 基向量和第二組標量 ${\displaystyle c_{1},\,c_{2},\,\ldots ,\,c_{m}\in K}$ 也滿足 ${\displaystyle c_{1}\cdot E_{1}+c_{2}\cdot E_{2}+\cdots +c_{m}\cdot E_{m}=v}$ 的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為 ${\displaystyle w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B}}}$ ，其他不重複的部分，第一組的記為 ${\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B}}}$ ；而第二組的記為 ${\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B}}}$ ；然後設 ${\displaystyle w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{l}\in {\mathfrak {B}}}$ 於原來第一組對應的標量係數是 ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{l}\in K}$ ；原第二組則是對應 ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{l}\in K}$ 。另外 ${\displaystyle v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n-l}\in {\mathfrak {B}}}$ 對應的標量係數則為 ${\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{n-l}\in K}$ ；${\displaystyle u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{m-l}\in {\mathfrak {B}}}$ 對應的標量係數則為 ${\displaystyle b_{1},\,b_{2},\,\ldots ,\,b_{m-l}\in K}$ ； 這樣把 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ 的第一組線性組合表達式減去第二組會有

${\displaystyle \sum _{i=1}^{l}(\alpha _{i}-a_{i})\cdot w_{i}+\sum _{j=1}^{n-l}\beta _{j}\cdot v_{j}+\sum _{k=1}^{m-l}(-b_{k})\cdot u_{k}=0_{V}}$

這樣依據線性無關，就有

${\displaystyle \alpha _{1}-a_{1}=\alpha _{2}-a_{2}=\cdots =\alpha _{l}-a_{l}=0_{K}}$

${\displaystyle \beta _{1}=\beta _{2}=\cdots =\beta _{n-l}=0_{K}}$

${\displaystyle b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{m-l}=0_{K}}$

這就確保任意 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ 的線性組合表達式都是用同一組的基向量，且其標量係數也是唯一的。

Schauder基

除了上小節單以線性組合定義的Hamel基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基：

Schauder基的定義 — ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 是定義在域 ${\displaystyle K}$ 上的巴拿赫空間（範數記為${\displaystyle \|v\|}$），若向量序列 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 滿足：

• 對所有自然數 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ，${\displaystyle e_{i}\neq 0_{V}}$ （也就是零向量不會在 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 裡）
• 對每個 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ ，都存在唯一組標量${\displaystyle {\{\lambda _{i}\in K\}}_{i\in \mathbb {N} }}$，使得對所有的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 使得 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 且 ${\displaystyle n>m}$ 則 ${\displaystyle \left\|\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\cdot e_{i}-v\right\|<\epsilon }$ （仿造數列極限而定義）

那向量序列 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 則被稱為是向量空間 ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的一組Schauder基。

第二項條件通常會簡寫為

對每個 ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ ，都存在唯一組標量${\displaystyle {\{\lambda _{i}\in K\}}_{i\in \mathbb {N} }}$，使 ${\displaystyle v=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\cdot e_{i}}$

甚至寫為

${\displaystyle v=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda _{i}\cdot e_{i}}$

例子

在傅立葉級數的研究中，函數${\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \}}$是所有的在區間[0, 2π]上為平方可積分的（實數或複數值）的函數的（實數或複數）向量空間的「正交基」，這種函數${\displaystyle f(x)}$滿足

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}$

函數族${\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n\in \mathbb {N} \}}$是線性無關的，所有在[0, 2π]上平方可積分的函數是它們的「無限線性組合」，在如下意義上

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx){\bigr )}-f(x){\biggr |}^{2}\,dx=0}$

對於適合的（實數或複數）係數a_k, b_k。但是多數平方可積分函數不能表達為這些基函數的有限線性組合，因為它們不構成Hamel基。這個空間的所有Hamel基都大於這個函數的只可數無限集合。此類空間的Hamel基沒有什麼價值，而這些空間的正交基是傅立葉分析的根本。

維度

如果基中元素個數有限，就稱向量空間為有限維向量空間，並將元素的個數稱作向量空間的維度^[2]。如果原本的基底為：

${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{e_{1},\,e_{2},\ldots ,\,e_{N}\right\}}$

那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質，反過來用基向量序列 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i=1}^{N}}$ 來間接代表${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$。

事實上，不是所有空間都擁有由有限個元素構成的基底。這樣的空間稱為無限維空間。某些無限維空間上可以定義由無限個元素構成的基。在現代集合論中，如果承認選擇公理，就可以證明任何向量空間都擁有一組基。一個向量空間的基不止一組，但同一個空間的兩組不同的基，它們的元素個數或勢（當元素個數是無限的時候）會是相等的。一組基裡面的任意一部分向量都是線性無關的；反之，如果向量空間擁有一組基，那麼在向量空間中取一組線性無關的向量，一定能得到一組基。特別地，在內積向量空間中，可以定義正交的概念。通過特別的方法，可以將任意的一組基變換成正交基乃至標準正交基。

性質

設${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$是向量空間${\displaystyle \mathrm {V} }$的子集。則${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$是基，當且僅當滿足了下列任一條件：

• ${\displaystyle \mathrm {V} }$是${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$的極小生成集，就是說只有${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$能生成${\displaystyle \mathrm {V} }$，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空間。
• ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$是${\displaystyle \mathrm {V} }$中線性無關向量的極大集合，就是說${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$在${\displaystyle \mathrm {V} }$中是線性無關(線性獨立)集合，而且${\displaystyle \mathrm {V} }$中沒有其他線性無關(線性獨立)集合包含它作為真子集。
• ${\displaystyle \mathrm {V} }$中所有的向量都可以按唯一的方式表達為${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$中向量的線性組合。如果基是有序的，則在這個線性組合中的係數提供了這個向量關於這個基的坐標。

如果承認良序定理或任何選擇公理的等價物，那麼作為推論，可以證明任何的向量空間都擁有一組基。（證明：良序排序這個向量空間的元素。建立不線性依賴於前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反過來也是真的。一個向量空間的所有基都擁有同樣的勢（元素個數），叫做這個向量空間的維度。這個結果叫做維度定理，它要求系統承認嚴格弱形式的選擇公理即超濾子引理。

例子

• 考慮所有坐標 (a, b)的向量空間R²，這裡的a和b都是實數。則非常自然和簡單的基就是向量e₁ = (1,0)和e₂ = (0,1):假設v = (a, b)是R²中的向量，則v = a (1,0) + b(0,1)。而任何兩個線性無關向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R²的一個基。

• 更一般的說，給定自然數n。n個線性無關的向量e₁, e₂, ..., e_n可以在實數域上生成Rⁿ。因此，它們也是的一個基而Rⁿ的維度是n。這個基叫做Rⁿ的標準基。

• 設V是由函數e^t和e^2t生成的實數向量空間。這兩個函數是線性無關的，所有它們形成了V的基。

• 設R[x]指示所有實數多項式的向量空間；則 (1, x, x², ...)是R[x]的基。R[x]的維度的勢因此等於${\displaystyle \aleph _{0}}$.

標準基

在行向量空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中有單位行向量

${\displaystyle E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)}$

那麼在該空間中，任意向量${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$,都可以唯一表示成${\displaystyle X=x_{1}E_{(1)}+x_{2}E_{(2)}+...+x_{n}E_{(n)}}$.然後我們可以看出，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$可以由它的向量子空間構成

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle =<E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}>}$.

同樣的，單位列向量就可以表達為${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle =[E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}]}$.

線性無關的單位行向量${\displaystyle E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}$生成${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. 那麼${\displaystyle {E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的基，稱這個基為標準基.

基的擴張

如上所述，一個向量空間的每一組基都是一個極大的線性無關集合，同時也是極小的生成集合。可以證明，如果向量空間擁有一組基，那麼每個線性無關的子集都可以擴張成一組基（也稱為基的擴充定理），每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基。特別地，在任何線性無關集合和任何生成集合之間有一組基。以數學語言來說：如果${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$是在向量空間${\displaystyle \mathrm {V} }$中的一個線性無關集合而集合${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$是一個包含${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$而且能夠生成${\displaystyle \mathrm {V} }$的集合，則存在${\displaystyle \mathrm {V} }$的一組基${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$，它包含了${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$而且是${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$的子集：${\displaystyle {\mathfrak {L}}\subseteq {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {G}}}$。

以上兩個結論可以幫助證明一個集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個向量空間的維度，證明一個集合是它的基需要證明這個集合不僅是線性無關的，而且能夠生成整個空間。如果已知這個向量空間的維度（有限維），那麼這個集合的元素個數必須等於維數，才可能是它的基。在兩者相等時，只需要證明這個集合線性無關，或這個集合能夠生成整個空間這兩者之一就夠了。這是因為線性無關的子集必然能擴充成基；而這個集合的元素個數已經等於基的元素個數，需要添加的元素是0個。這說明原集合就是一組基。同理，能夠生成整個空間的集合必然包含一組基作為子集；但假如這個子集是真子集，那麼元素個數必須少於原集合的元素個數。然而原集合的元素個數等於維數，也就是基的元素個數，這是矛盾的。這說明原集合就是一組基。

有序基和坐標

基底是作為向量空間的子集定義的，其中的元素並不按照順序排列。為了更方便相關的討論，通常會將基向量進行排列。比如說將：${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}}$寫成有序向量組：${\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}$。這樣的有序向量組稱為有序基。在有限維向量空間和可數維數的向量空間中，都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用確定的數組表示，稱為向量的坐標。例如，在使用向量的坐標表示的時候習慣談論「第一個」或「第二個」坐標，這只在指定了基的次序前提下有意義。在這個意義下，有序基可以看作是向量空間的坐標架。

設${\displaystyle \mathrm {V} }$是在域${\displaystyle \mathbb {F} }$上的n維向量空間。在${\displaystyle \mathrm {V} }$上確定一個有序基等價於確定一個從坐標空間${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$到${\displaystyle \mathrm {V} }$的一個選定線性同構${\displaystyle \phi }$。

證明：這個證明利用了${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$的標準基是有序基的事實。

首先假設

${\displaystyle \phi :\;\;\mathbb {F} ^{n}\rightarrow \mathrm {V} }$是線性同構。可以定義${\displaystyle \mathrm {V} }$的一組有序基${\displaystyle \{v_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}}$如下：

${\displaystyle v_{i}=\phi (e_{i}),\;\;\forall i,\;1\leqslant i\leqslant n.}$

其中的${\displaystyle \{e_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}}$是${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$的標準基。

反過來說，給定一個有序基，考慮如下定義的映射

φ(x) = x₁v₁ + x₂v₂ + ... + x_nv_n,

這裡的x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n是Fⁿ的一個元素。不難檢查出φ是線性同構。

這兩個構造明顯互逆。所以V的有序基一一對應於線性同構Fⁿ → V。

確定自有序基{v_i}線性映射φ的逆映射為V裝備了坐標：如果對於向量v ∈ V, φ^-1(v) = (a₁, a₂,...,a_n) ∈ Fⁿ，則a_j = a_j(v)的分量是v的坐標，在v = a₁(v) v₁ + a₂(v) v₂ + ... + a_n(v) v_n的意義上。

從向量v到分量a_j(v)的映射是從V到F的線性映射，因為φ^-1是線性的。所以它們是線性泛函。它們形成V的對偶空間的基，叫做對偶基。

參考文獻

1. 柯斯特利金.代數學引論（第二版）[M]高等教育出版社:53
2. Lang, Serge. Linear algebra. Berlin: New York: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0-387-96412-6.

參見

• 線性代數
• 線性組合

外部連結

• MIT Linear Algebra Lecture on Bases （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at Google Video, from MIT OpenCourseWare