顶点图

在几何学中，顶点图是一种用于描述几何图形之顶角特性的方式，大致上是将一个几何图形角被切去时所露出的形状^[1]。

立方体的顶点图为正三角形

三角柱的顶点图是一个等腰三角形。其中等腰三角形的底边位于三角柱的三角形面，另外两腰位于正方形面上。为了要方便表达这个顶点图的性质，我们可以使用顶点布局（英语：Vertex configuration）符号3.4.4表是，其代表顶点图的等腰三角形其中一条边来自来源多面体的三角形、两条来自来源多面体的正方形。

定义

先从多面体上选一个顶点，将该顶点的连出去的边所连接到的顶点标记起来，将这些标记跨越相邻面连接起来，这些线形成完整的一周，也就是一个环绕著该顶点的多边形，这个多边形即为该多面体的顶点图^[2]。

正几何图形

大二十面体的顶点图是五角星，可以用施莱夫利符号计为{5/2}

若一个几何图形是正图形，其本身、胞和顶点图就都能够使用施莱夫利符号表示。

正图形的施莱夫利符号一般会写成 {a,b,c,...,y,z} 的形式，胞为 {a,b,c,...,y}，顶点图则可以表示为 {b,c,...,y,z}。

1. 正多面体在施莱夫利符号中计为{p,q}，其顶点图就是一个正q边形，在施莱夫利符号中计为{q}。
   • 举例来说，立方体在施莱夫利符号中计为 {4,3}，其顶点图是正三角形，在施莱夫利符号中计为 {3}。
2. 四维正图形（英语：regular 4-polytope）或三维空间填充在施莱夫利符号中计为{p,q,r}，其顶点图在施莱夫利符号中就计为{q,r}.
   • 举例来说，超立方体在施莱夫利符号中计为{4,3,3}，其顶点图是正四面体，在施莱夫利符号中计为{3,3}。
   • 同样的，立方体堆砌的施莱夫利符号为{4,3,4}，其顶点图是施莱夫利符号计为{3,4}的正八面体。

范例

部分的截角立方体堆砌

以截角立方体堆砌为例，其顶点图为一个非正的四角锥。

顶点图：不规则四角锥	施莱格尔图（英语：Schlegel diagram）	透视图
八面体的正方形顶点图	(3.3.3.3)
四个来自截角立方体的等腰三角形	(3.8.8)

棱图

截角立方体堆砌有两种棱的角，其中一种是4个截角立方体的公共棱，另一种是1个正八面体和两个截角立方体的公共棱。可以以2个棱图来表示，也就是说其顶点图的顶点图有两种可能。

棱图是顶点图的顶点图^[3]，可用于描述几何图形棱的角（在三维空间中可理解为二面角）的特性。

往更高的维度推广，还有面图、胞图，面图用于描述几何图形的四维面与面的交角，可以理解为堆砌体中，面与面接合的部分，虽然三维的面与面交会的部分都是平角，但到四维空间就可以存在角度，类似二面角那样，到五维空间就会需要类似顶点图的面图来描述其结构（类似于正多边形镶嵌的多边形与多边形棱的交会部分，因为是在平面上，因此这个二面角当然会是平角，但到了三维空间，这种角就会出现角度、四维以上就会有不止两个图形交会于此，因此需要棱图来描述）。其他更高维度还有胞图、n维胞图等。

依此概念继续推广还有面图、胞图......以此类推。他们用来描述高维度的几何体对应元素的结构。

参见

• 顶点布局（英语：Vertex configuration）
• 正图形列表

参考文献

参考资料

1. Weisstein, Eric W. (编). Vertex figure. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Hbk (1948), ppbk (1973).
3. Klitzing, Richard. Klitzing:Vertex figures,etc.. bendwavy.org. [2016-08-23]. （原始内容存档于2011-08-08）.

参考书籍

1. H.S.M. Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954) pp. 401–450.
2. P. Cromwell, Polyhedra, CUP pbk. (1999).
3. H.M. Cundy and A.P. Rollett, Mathematical Models, OUP (1961).
4. J. Skilling, The Complete Set of Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 278 A (1975) pp. 111–135.
5. M. Wenninger, Dual Models, CUP hbk (1983) ppbk (2003).
6. The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (p.289 Vertex figures)

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Vertex figure. MathWorld.
• Olshevsky, George, Vertex figure at Glossary for Hyperspace.
• 顶点图 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （英文）
• Consistent Vertex Descriptions