无穷星形多面体是指部分顶点落在无穷实射影平面上的星形多面体。通常若一个多面体有部分的面通过整体几何中心，则其对偶多面体将会变为无穷星形多面体。所有半多面体的对偶多面体都是无穷星形多面体。无穷星形多面体的概念由温尼尔在其著作《对偶模型》中提出，并提出了一种使用无限高、双向延伸的柱体组合来具象化这类立体。[1]
具象化
由于无穷星形多面体有部分的顶点落在无穷实射影平面[1]，因此，一般来说，这样的立体难以被具象化[2]。为了具像化这种立体，温尼尔在著作《对偶模型》中将其描述为由无限高的柱体组合构成的立体，在这样的视觉化方式下，无穷星形多面体的外观会根据其几何特性由多个无限高的角柱构成[1]，同时每个柱体都会双向延伸到相同的无穷远点，以保持整体的对称性[3]。这种模型虽然在理论上有些缺陷，但已足以作为一种具像化的方式。[4]2017年，保罗·盖柳纳斯（Paul Gailiunas）提出了一种将无穷星形多面体具象化为有限大小几何结构的具象化方式，其使用曲线的方式来表达无穷星形多面体的拓朴结构。[5]
种类
无穷星形多面体通常是部分的面通过整体几何中心的立体对应的对偶多面体。温尼尔在其著作《对偶模型》中提出了几种类型，包括了拟正半多面体的对偶多面体，以及一些多面体的无穷星形化体。[6]
拟正半多面体一共有九种[6]，但他们的对偶多面体若依照温尼尔其著作《对偶模型》中提出的具象化方式仅有五种形状，其中八面半八面体的对偶多面体与立方半八面体的对偶多面体形状在外观上无法区别[7][8]；小二十面半十二面体的对偶多面体与小十二面半十二面体的对偶多面体形状在外观上也无法区别[9][10]；大十二面半十二面体的对偶多面体与大二十面半十二面体的对偶多面体形状在外观上也无法区别[11][12]；大十二面半二十面体的对偶多面体与小十二面半二十面体的对偶多面体形状在外观上亦无法区别[13][14][6]。
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| 四面半六面体的对偶多面体 四面半无穷星形六面体 |
八面半八面体的对偶多面体 八面半无穷星形八面体 |
立方半八面体的对偶多面体 立方半无穷星形八面体 |
小二十面半十二面体的对偶多面体 小二十面半无穷星形十二面体 |
小十二面半十二面体的对偶多面体 小十二面半无穷星形十二面体 |
大二十面半十二面体的对偶多面体 大二十面半无穷星形十二面体 |
大十二面半十二面体的对偶多面体 大十二面半无穷星形十二面体 |
小十二面半二十面体的对偶多面体 小十二面半无穷星形二十面体 |
大十二面半二十面体的对偶多面体 大十二面半无穷星形二十面体 |
| 3个互相相交的无限高四角柱 | 4个互相相交的无限高六角柱 | 6个互相相交的无限高十角柱 | 6个互相相交的无限高十角星柱 | 10个互相相交的无限高六角柱 | ||||
| 无穷星形多面体 | 组成 | 对应的立体 | 向外 凸出结构 数量 |
面数 | 边数 | 顶点数 | 对偶多面体 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
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3个互相相交的无限高四角柱 | 四面半无穷星形六面体 | 6 | 6 | 12 | 7 | 四面半六面体
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4个互相相交的无限高六角柱 | 八面半无穷星形八面体 | 8 | 12 | 24 | 12 | 八面半八面体
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| 立方半无穷星形八面体 | 10 | 立方半八面体
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6个互相相交的无限高十角柱 | 小二十面半无穷星形十二面体 | 12 | 30 | 60 | 26 | 小二十面半十二面体
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| 小十二面半无穷星形十二面体 | 18 | 小十二面半十二面体
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6个互相相交的无限高十角星柱 | 大二十面半无穷星形十二面体 | 12 | 30 | 60 | 26 | 大二十面半十二面体
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| 大十二面半无穷星形十二面体 | 18 | 大十二面半十二面体
| |||||
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10个互相相交的无限高六角柱 | 小十二面半无穷星形二十面体 | 20 | 30 | 60 | 22 | 小十二面半二十面体
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| 大十二面半无穷星形二十面体 | 大十二面半二十面体
| ||||||
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6个互相相交的无限高菱形柱 | 半刻面立方体的对偶多面体 | 12 | 8 | 24 | 12 | 半刻面立方体
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10个互相相交的无限高三角柱 | 正二十面体的无穷三角化多面体 | 20 | 60 | 90 | 32 | － |
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30个互相相交的无限高菱形柱 | Hj2星形二十面体[15][16] | 60 | 20 | 120 | 60 | 五复合半刻面立方体
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15个互相相交的无限高四角柱 | 四面半无穷星形六面体的五复合体 | 30 | 30 | 60 | 35 | 五复合四面半六面体
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| 五复合立方体的无穷星形化体[1]:115 | 70 | － | |||||
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30个互相相交的无限高八角星柱 （每个八角星柱实为两个四角柱的复合体） |
大二重斜方截半二十面无穷星形六十面体[1]:139 | 60 | 60 | 240 | 124 | 大二重斜方截半二十面体[1]:139
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| 大二重扭棱二重斜方十二面无穷星形六十面体 | 204 | 大二重扭棱二重斜方十二面体
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参考文献
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