大二重扭棱二重斜方十二面体

大二重扭棱二重斜方十二面体又称为斯基林立体或斯基林图形（skilling's figure）是一种退化的非凸均匀多面体，由204个面和60个顶点组成。大二重扭棱二重斜方十二面体可透过将大二重斜方截半二十面体与二十复合正八面体（英语：Compound of twenty octahedra）进行异或（或称混合）来构造。^[1]

大二重扭棱二重斜方十二面体

类别	退化均匀星形多面体
对偶多面体	大二重扭棱二重斜方十二面无穷星形六十面体（维基数据所列：Q18048492）
识别
名称	大二重扭棱二重斜方十二面体 Great disnub dirhombidodecahedron Skilling's figure
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	Gidisdrid
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	| (3/2) 5/3 (3) 5/2
性质
面	204
边	360
顶点	60
欧拉特征数	F=204, E=360, V=60 （χ=-96）
组成与布局
面的种类	120个正三角形 60个正方形 24个五角星
顶点图	(5/2.4.3.3.3.4. 5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2
对称性
对称群	Ih（英语：Icosahedral symmetry）, [5,3], (*532)
图像
(5/2.4.3.3.3.4. 5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2 （顶点图） 大二重扭棱二重斜方十二面无穷星形六十面体（维基数据所列：Q18048492） （对偶多面体）
查 论 编

历史

除了无限集合的柱体、反柱体外，均匀多面体仅有75种，这些多面体的列表在1954年首次发表^[2]，并于1970年代证实了其完备性^[3]。1975年，约翰斯基林研究了放宽条件的均匀多面体。其令均匀多面体的边可以重复、非单一之后，发现了一种退化之非凸均匀多面体的例子，即大二重扭棱二重斜方十二面体。更精确地说，在斯基林的研究中，其允许每条边能有任意数量的相邻面，并且确保这组面不会分成2个或以上的不相连集合，即这个立体不会是复合多面体^[4]。然而这种立体存在与四个面相邻的边，或者可以视为重合的边，因此只能被视为退化的均匀多面体而不是严格的均匀多面体^[5]。由于此立体由约翰斯基林发现，因此被命名为斯基林立体或斯基林图（skilling's figure），类似的立体还有米勒的怪物^[6]:259[7]这类命名方式也影响一些几何学相关研究的命名方式^[8]:233。

性质

大二重扭棱二重斜方十二面体是一种退化的均匀多面体，其存在重合的边，或与四个面相邻的边^[9]:138，因此不被视为严格的均匀多面体^[10]，故未被列在均匀多面体的列表中。^[11]尽管如此，大二重扭棱二重斜方十二面体与一般均匀多面体一样具备点可递的特性，也就是说这种立体所有顶角都是相等的。大二重扭棱二重斜方十二面体共由204个面、240条边和60个顶点组成^[4]。在其240条边中，有120条边与两个面相邻，以及120条边与四个面相邻。^[11]而这120条与四个面相邻的边也可以视为120组两两重合的边，即一对与两个面相邻之边^[4][1]，因此部分文献会将大二重扭棱二重斜方十二面体的边数记载为360条边。^[13]

在大二重扭棱二重斜方十二面体的204个面中，有120个正三角形、60个正方形和24个五角星。在其60个顶点中，每个顶点都是6个三角形、4个正方形和2个五角星的公共顶点，并且这些面在顶角周围依照五角星、正方形、三角形、三角形、三角形、正方形、反向相接的五角星、正方形、反向相接的三角形、反向相接的三角形、反向相接的三角形和正方形的顺序排列，且围绕顶角两圈，这种顶角结构在顶点图中可以用(5/2.4.3.3.3.4. 5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/₂来表示。

尺寸

大二重扭棱二重斜方十二面体的边长为二的平方根倍的外接球半径^[4]:122，这同时也意味著边长为1的大二重扭棱二重斜方十二面体其外接球半径为：^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0.707107}$

顶点座标

大二重扭棱二重斜方十二面体与大二重斜方截半二十面体共用相同的顶点排列，也就是说在相同外接球的情况下，大二重扭棱二重斜方十二面体的顶点座标与大二重斜方截半二十面体的顶点座标相同^[14]，其值为：^[15]

${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}-1-2{\sqrt {{\sqrt {5}}-2}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}-{\sqrt {10{\sqrt {5}}-22}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {2+{\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}}{8}}}\right),}$

${\displaystyle \left(0,\,\pm {\frac {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}{2}},\,\pm {\frac {\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}{2}}\right),}$

${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {\frac {3-{\sqrt {5}}+{\sqrt {10{\sqrt {5}}-22}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {2-{\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}}{8}}},\,\pm {\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}-1+2{\sqrt {{\sqrt {5}}-2}}}{8}}}\right).}$

顶点图

大二重扭棱二重斜方十二面体顶点图的视觉化呈现。

顶点图为顶角结构的一种描述方式，通常是以构成顶角之多面角组成面的边数顺序来表示。一般而言会将大二重扭棱二重斜方十二面体的顶点图计为(5/2.4.3.3.3.4. 5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/₂，以表示每个顶角皆为12面角，并依照五角星（5/2）、正方形（4）、三个三角形（3.3.3）、正方形（4）、反向相接的五角星（5/3）、正方形（4）、三个反向相接的三角形（3/2.3/2.3/2）、正方形（4）的顺序相接，并围绕顶角两圈（/₂）^[4]:122。然而考虑部分边的重合性，可以将的顶角分成两组，其顶点图分别为[5/4,4,3,3,3,4,5/3,4,3/2,3/2,3/2,4]与[5/2,3,4,3,4,3,5/3,3/2,4,3/2,4,3/2]。^[1]

欧拉示性数

若将重合边视为相异，则大二重扭棱二重斜方十二面体由204个面、360条边和60个顶点组成，其边数为360^[13]，包括了120组的重合边和120条独立边，此时的欧拉示性数为${\displaystyle \chi =F-E+V=}$${\displaystyle {{{204}-{360}}+{60}}=-96}$。但若将大二重扭棱二重斜方十二面体的重合边视为相同，则大二重扭棱二重斜方十二面体由204个面、240条边和60个顶点组成，此时的欧拉示性数为${\displaystyle \chi =F-E+V=}$${\displaystyle {{{204}-{240}}+{60}}=24}$。^[4]

相关多面体

大二重扭棱二重斜方十二面体与大二重斜方截半二十面体共用相同的边布局（英语：Edge arrangement）^[14]，但其三角形面的集合不相同。顶点和边也与二十复合正八面体（英语：Compound of twenty octahedra）共用^[1]，同理，与八面体共用顶点之几何体——四面半六面体^[16]按相同方式构成的二十复合四面半六面体（英语：Compound of twenty tetrahemihexahedra）亦然。此外，大二重扭棱二重斜方十二面体也与大扭棱十二面截半二十面体共用180条边。

凸包	大扭棱十二面截半二十面体	大二重斜方截半二十面体
大二重扭棱二重斜方十二面体	二十复合正八面体（英语：Compound of twenty octahedra）	二十复合四面半六面体（英语：Compound of twenty tetrahemihexahedra）

图像

传统填充

相交偶数次为外部

参见

• 大二重斜方截半二十面体

参考文献

1. Richard Klitzing. gidisdrid. bendwavy.org. [2022-07-10]. （原始内容存档于2022-07-13）.
2. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. Uniform polyhedra. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society). 1954, 246 (916): 401–450. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183. doi:10.1098/rsta.1954.0003.
3. Sopov, S. P., A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra, Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik, 1970, (8): 139–156, MR 0326550
4. Skilling, J., The complete set of uniform polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A（英语：Philosophical Transactions of the Royal Society A）. Mathematical and Physical Sciences, 1975, 278: 111–135, ISSN 0080-4614, JSTOR 74475, MR 0365333, doi:10.1098/rsta.1975.0022
5. Jim McNeill. Skilling's Figure. orchidpalms.com. [2022-07-10]. （原始内容存档于2022-07-12）.
6. Azulay, J. and Rice, B. and Aiello, C. Architecture Xenoculture. eVolo. eVolo Press. 2014 [2021-10-28]. ISBN 9781938740121. （原始内容存档于2021-10-29）.
7. Robert Webb. Great Dirhombicosidodecahedron ("Miller's Monster"). software3d.com. [2021-10-25]. （原始内容存档于2022-03-05）.
8. Verheyen, Hugo F. The complete set of Jitterbug transformers and the analysis of their motion. Symmetry 2 (Elsevier). 1989: 203–250.
9. Elwes, R. and Elwes, R. Maths 1001: Absolutely Everything That Matters in Mathematics. Quercus. 2017 [2022-07-10]. ISBN 9781786486950. （原始内容存档于2022-07-13）.
10. Kasparian, Raffi J and Petillo, Alice E. Introducing the Kasparian Constructions. Proceedings of Bridges 2017: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture. 2017: 511––514.
11. George W. Hart. The Great Disnub Dirhombidodecahedron. Virtual Polyhedra. 1996 [2022-07-10]. （原始内容存档于2022-07-14）.
12. Kay West. The Mathematics Tarot Handbook.
13. Kay West^[12], p.92
14. Richard Klitzing. gidrid. bendwavy.org. [2022-07-10]. （原始内容存档于2022-07-13）.
15. Data of Great Dirhombicosidodecahedron. dmccooey.com. [2021-10-28]. （原始内容存档于2016-05-30）.
16. Tetrahemihexahedron. software3d.com. [2021-07-29]. （原始内容存档于2021-07-29）.