方块矩阵

方块矩阵，也称方阵、方矩阵或正方矩阵^[1]，是行数及列数皆相同的矩阵。由${\displaystyle n\times n\,}$矩阵组成的集合，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成环。除了${\displaystyle n=1\,}$，此环并不是交换环。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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M(n, R)，即实方块矩阵环，是个实有单位的结合代数。M(n, C)，即复方块矩阵环，则是复结合代数。

单位矩阵${\displaystyle I_{n}\,}$的对角线全是1而其他位置全是0，对所有${\displaystyle m\times n\,}$矩阵${\displaystyle M\,}$及${\displaystyle n\times k\,}$矩阵${\displaystyle N\,}$都有${\displaystyle MI_{n}=M\,}$及${\displaystyle I_{n}N=N\,}$。 例如，若${\displaystyle n=3\,}$：

${\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,}$

单位矩阵是方块矩阵环的单位元。

方块矩阵环的可逆元称为可逆矩阵或非奇异方阵。${\displaystyle n\times n\,}$矩阵${\displaystyle A\,}$是可逆当且仅当存在矩阵${\displaystyle B\,}$使得

${\displaystyle AB=I_{n}(=BA)\,}$。

此时${\displaystyle B\,}$称为${\displaystyle A\,}$的逆矩阵，并记作${\displaystyle A^{-1}\,}$。 所有${\displaystyle n\times n\,}$矩阵在乘法上组成一个群（亦是一个李群），称为一般线性群。

若数字${\displaystyle \lambda \,}$和非零向量${\displaystyle {\vec {v}}\,}$满足${\displaystyle A{\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\,}$，则${\displaystyle {\vec {v}}\,}$为${\displaystyle A\,}$的一个特征向量，${\displaystyle \lambda \,}$是其对应的特征值。数字${\displaystyle \lambda \,}$为${\displaystyle A\,}$的特征值当且仅当${\displaystyle A-\lambda I_{n}\,}$可逆，又当且仅当${\displaystyle p_{A}(\lambda )=0\,}$。这里，${\displaystyle p_{A}(x)\,}$是${\displaystyle A\,}$的特征多项式。特征多项式是一个${\displaystyle n\,}$次多项式，有${\displaystyle n\,}$个复根（考虑重根），即${\displaystyle A\,}$有${\displaystyle n\,}$个特征值。

方块矩阵${\displaystyle A\,}$的行列式是其${\displaystyle n\,}$个特征值的积，但亦可经由莱布尼茨公式计算出来。可逆矩阵正好是那些行列式非零的矩阵。

高斯-若尔当消元法非常重要，可以用来计算矩阵的行列式，秩，逆矩阵，并解决线性方程组。

矩阵的迹是${\displaystyle n\times n\,}$矩阵的对角线元素之和，也是其${\displaystyle n\,}$个特征值之和。

所有正交矩阵都是方块矩阵。

方块矩阵的等价命题

线性代数中，下列关于方块矩阵A的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：

1. A 可逆 ； A的反矩阵存在。
2. det(A) ≠ 0 。
3. rank(A) = n 。
4. Null(A) = 0 。
5. A的特征值中没有0。
6. 对任意b属于Fⁿ，Ax = b有唯一解。
7. Ax = 0只有平凡解。
8. A^TA可逆。
9. A与单位矩阵行（列）等价。
10. A的行向量或列向量张成Fⁿ 。
11. A的零空间只有零向量。
12. A的值域为Fⁿ 。
13. A的行（列）向量构成Fⁿ (Fⁿ)中向量的线性无关集。

这里，F为矩阵元素所属的域。通常，这个域为实数域或复数域。

参考资料

1. 存档副本. [2015年2月26日]. （原始内容存档于2015年2月26日）.，国家教育研究院（繁体中文）