除以零

在数学中，被除数的除数（分母）是零或将某数除以零，可表达为${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$，${\displaystyle a}$是被除数。在算式中没有意义，因为没有数目，以零相乘（假设${\displaystyle a\neq 0}$），由于任何数字乘以零均等于零，因此除以零是一个没有定义的值。此式是否成立端视其在如何的数学设定下计算。一般实数算术中，此式为无意义。在程序设计中，当遇上正整数除以零程序会中止，正如浮点数会出现无限大或NaN值的情况，而在Microsoft Excel及Openoffice或Libreoffice的Calc中，除以零会直接显示#DIV/0! 。

除以0时计算器的错误

基本算术

基本算术中，除法指将一个集合中的物件分成若干等份。例如，${\displaystyle 10}$个苹果平分给${\displaystyle 5}$人，每人可得${\displaystyle {\frac {10}{5}}=2}$个苹果。同理，${\displaystyle 10}$个苹果只分给${\displaystyle 1}$人，则其可独得${\displaystyle {\frac {10}{1}}=10}$个苹果。

若除以${\displaystyle 0}$又如何？若有${\displaystyle 10}$颗苹果，无人（${\displaystyle 0}$解作没有）来分，每“人”可得多少苹果？问题本身是无意义的，因根本无人来，论每“人”可得多少，根本多馀。因此，${\displaystyle {\frac {10}{0}}}$，在基本算术中，是无意义或未下定义的。

另种解释是将除法理解为不断的减法。例如“${\displaystyle 13}$除以${\displaystyle 5}$”，换一种说法，${\displaystyle 13}$减去两个${\displaystyle 5}$，馀下${\displaystyle 3}$，即被除数一直减去除数直至馀数数值低于除数，算式为${\displaystyle {\frac {13}{5}}=2}$馀数${\displaystyle 3}$。若某数除以零，就算不断减去零，馀数也不可能小于除数，使得算式与无穷拉上关系，超出基本算术的范畴。此解释也有一问题，即为无穷大乘以零仍是零。

早期尝试

婆罗摩笈多（598–668年）的著作《婆罗摩历算书（英语：Brahmasphutasiddhanta）》被视为最早讨论零的数学和定义涉及零的算式的文本。但当中对除以零的论述并不正确，根据婆罗摩笈多所说，

“

一个正或负整数除以零，成为以零为分母的分数。零除以正或负整数是零或以零为分子、该正或负整数为分母的分数。零除以零是零。

”

830年，另一位数学家摩诃吠罗（英语：Mahāvīra (mathematician)）在其著作《Ganita Sara Samgraha》试图纠正婆罗摩笈多的错误，但不成功：

“

一数字除以零会维持不变。

”

婆什迦罗第二尝试解决此问题，答案是让${\displaystyle {\frac {n}{0}}=\infty }$。虽然此定义有一定道理，但会导致一个悖论：${\displaystyle 0\times \infty }$的结果可以是任意一个数，所以所有的数都是相同的。^[1]

在微积分和数学分析中，像${\displaystyle 0\times \infty }$或${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$这一类极限称为不定型。不定型是可以计算的，结果可能是任意数。

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代数处理

若某数学系统遵从域的公理，则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作，即${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$值是方程${\displaystyle bx=a}$中${\displaystyle x}$的解（若有的话）。若设${\displaystyle b=0}$，方程式${\displaystyle bx=a}$可写成${\displaystyle 0\times x=a}$或直接${\displaystyle 0=a}$。因此，方程式${\displaystyle bx=a}$没有解（当${\displaystyle a\neq 0}$时），但${\displaystyle x}$是任何数值也可解此方程（当${\displaystyle a=0}$时）。在各自情况下均没有独一无二的数值，所以${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$未能下定义。

除以零的谬误

在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明：${\displaystyle 2=1}$

式：

${\displaystyle 0a=0}$

试：

${\displaystyle a=1}$：正确

${\displaystyle a=2}$：正确

得出：

${\displaystyle 0\times 1=0\times 2}$

除以零得出

${\displaystyle {\frac {0}{0}}\times 1=2}$

简化，得出：

${\displaystyle 1=2\,}$

以上谬论假设，某数除以0是容许的，并且${\displaystyle {\frac {0}{0}}=1}$。

另一个简洁的证明

设${\displaystyle a=b}$，则$${\displaystyle a^{2}=ab}$$两边同时减去${\displaystyle b^{2}}$，由平方差公式得$${\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)}$$两边除以${\displaystyle (a-b)}$，$${\displaystyle a+b=b}$$故${\displaystyle a=0}$。

通过上面的过程，证明了一切数字等于${\displaystyle 0}$。此谬论是由于简化的过程不正确，计算过程使用了“除以零”。

因为${\displaystyle (a-b)}$是零，所以不能够把左右两边的${\displaystyle (a-b)}$删去。

虚假的除法

在矩阵代数或线性代数中，可定义一种虚假的除法，设${\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{+}}$，当中${\displaystyle b^{+}}$代表${\displaystyle b}$的虚构倒数。这样，若${\displaystyle b^{-}}$存在，则${\displaystyle b^{+}=b^{-}}$。若${\displaystyle b=0}$，则${\displaystyle 0^{+}=0}$；参见广义逆。

数学分析

函数${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$的图像。当x趋向0，左极限和右极限分别趋向负无限及正无限。

扩展的实数轴

表面看来，可以藉着考虑随着${\displaystyle b}$趋向${\displaystyle 0}$的${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$来定义“除以零”。

对于任何正数${\displaystyle a}$，右极限是

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }$

另一方面，左极限是

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty }$

由于左极限及右极限不相同，因此函数在${\displaystyle x=0}$的极限不存在，该点没有定义。同样地，若${\displaystyle a}$是负数，极限也不存在。

如果分子及分母均为零或趋向零，则可使用洛必达法则计算。

不定型极限

不定型（Indeterminate Form）的极限可透过四则运算或洛必达法则计算。

考虑函数${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}}$

如果直接代入${\displaystyle x=3}$，会得到零除以零，这是没有意义的。

${\displaystyle f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}}$

但透过约简分子及分母，该点的极限是可以计算的。

${\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6}$

此外，函数的极限可透过洛必达法则计算。

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

若随着${\displaystyle x}$趋向${\displaystyle 0}$，${\displaystyle f(x)}$与${\displaystyle g(x)}$均趋向${\displaystyle 0}$，该极限可等于任何实数或无限，或者根本不存在，视乎${\displaystyle f}$及${\displaystyle g}$是何函数。

形式推算

运用形式推算（英语：formal calculation），正号、负号或没有正负号因情况而定，除以零定义为：

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .}$

黎曼球

集合${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$为黎曼球（Riemann sphere），在复分析中相当重要。

计算机科学

不同程式语言下除以零的结果

程式语言	整数	浮点数
C语言	未定义行为，早期计算机可能崩溃；如果0是常量，可能导致编译警告。	无穷大或NaN
Java	抛出ArithmeticException异常	无穷大或NaN
JavaScript	不适用，JavaScript无整数类型	无穷大或NaN
Python	抛出ZeroDivisionError异常	抛出ZeroDivisionError异常；但是部分Python包提供的运算函数除外

在计算机中，除以零的结果根据编程语言、软硬件环境、数据类型、数值而不同。部分语言中，无论是整数还是浮点数，除以0均会产生异常，而在另一部分语言中，整数除以零会产生异常或未定义行为，而浮点数除以零的结果如下：

• 零与NaN除以零：NaN（注：NaN不等于NaN）
• 零与NaN以外的数除以符号相同的0（如1除以0）：正无穷大
• 零与NaN以外的数除以符号不同的0（如1除以-0、-1除以0）：负无穷大

注释

1. Zero 互联网档案馆的存档，存档日期2008-12-04.

参考

• Patrick Suppes（英语：Patrick Suppes） 1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).

• Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).

• Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

延伸阅读

• Jakub Czajko (July 2004) "
  On Cantorian spacetime over number systems with division by zero
  ", Chaos, Solitons and Fractals, volume 21, number 2, pages 261–271.

• Ben Goldacre. Maths Professor Divides By Zero, Says BBC. 2006-12-07 [2008-04-23]. （原始内容存档于2008-05-27）.

参见

• 渐近线
• 0/0
• 引力奇点