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广义逆(Generalized inverse)[1],是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A的广义逆阵,是指具有部份逆矩阵的特性,但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假设一矩阵及另一矩阵,若满足,则即为的广义逆阵。
广义逆也称为伪逆(pseudoinverse)[2],有些时候,伪逆特指摩尔-彭若斯广义逆。
建构广义逆阵的目的是针对可逆矩阵以外的矩阵(例如非方阵的矩阵)可以找到一矩阵有一些类似逆矩阵的特性。任意的矩阵都存在广义逆阵,若一矩阵存在逆矩阵,逆矩阵即为其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定义在和结合律乘法有关的数学结构(例如半群)中。
考虑以下的线性方程
其中为的矩阵,而 , 的列空间。 若矩阵为可逆矩阵,则即为方程式的解。而若矩阵为可逆矩阵
假设矩阵不可逆或是,需要一个适合的矩阵使得下式成立
因此为线性系统的解。 而同样的,阶的矩阵也会使下式成立
因此可以用以下的方式定义广义逆阵:假设一个的矩阵,的矩阵若可以使下式成立,矩阵即为的广义逆阵
以下是一种产生广义逆阵的方式[3]:
彭若斯条件可以用来定义不同的广义逆阵:针对及
1.) | |
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3.) | |
4.) |
若满足条件(1.),即为的广义逆阵,若满足条件(1.)和(2.),则为的广义反身逆阵(generalized reflexive inverse),若四个条件都满足,则为的摩尔-彭若斯广义逆。
以下是一些其他种类的广义逆阵
任何一种广义逆阵都可以用来判断线性方程组是否有解,若有解时列出其所有的解[4]。若以下n × m的线性系统有解存在
其中向量为未知数,向量b为常数,以下是所有的解
其中参数w为任意矩阵,而为的任何一个广义逆阵。解存在的条件若且唯若为其中一个解,也就是若且唯若。
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