回文数

迴文数或回文数是指像14641这样“对称”的数，即：将这数的位数反转排列得到的“倒序数”^[1]:94或“反序数”^[1]:59和原数一样。这里，“回文”是指像“妈妈爱我，我爱妈妈”这样，正读反读都相同的单词或句子。

回文数在休闲数学领域备受关注，典型的问题就是寻找那些有某种特性且符合回文特征的数，如

• 回文素数：2、3、5、7、11、101、131、151、… A002385
• 回文完全平方数：0、1、4、9、121、484、676、10201、12321、… A002779

巴克敏斯特·福乐的著作《协同学》（Synergetics）把回文数也叫做沙拉扎数（Scheherazade Numbers），沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相女儿之名。

任何进位制都有无限个回文数；101、1001、10001、…（一个1后接n个0再后接一个1）等各项在任何进制都是回文数，可组成有无限项的序列，这进制的回文数有无限（其中包括但不限于该序列中的无限项）。

正式定义

虽然通常考虑十进制回文数，但回文性质可延伸到任何记数系统的自然数。以b（b≥2）为底的数n（n＞0）可按标准方式表示为k＋1个数${\displaystyle a_{i}}$，即

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}}$

其中，如惯例，对所有i 都要求${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq b}$，且${\displaystyle a_{k}\neq 0}$。则n称为回文数，当且仅当对所有i 都有${\displaystyle a_{i}=a_{k-i}}$。零在任何基均写作0并由定义认为它也是回文数。

另一种等价定义如下：在任何基b，当且仅当：

• n是一位数，或
• n为两位相同数字，或
• n由三位或更多数字组成，其首位和末位数字相同，且从n中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文

的数n称为回文。

十进制

10基数中所有单位数｛0、1、2、3、4、5、6、7、8、9｝都是回文数。

两位回文数有9个：

｛11、22、33、44、55、66、77、88、99｝

三位回文数有90个：

｛101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999｝

四位回文数也有90个：

｛1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999｝

小于10⁴的回文数共199个，小于10⁵的回文数有1099个，对其它的10的整数幂10ⁿ来说，分别有：1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…（OEIS数列A070199）个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数（其中包括将0也作为回文数）：

	101	102	103	104	105	106	107	108	109	1010
n为自然数	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n为偶数	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n为奇数	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n为完全平方数	3		6		13	14	19		＋	＋
n为素数	4	5	20		113		781		5953
n为因数中不含平方数的数	6	12	67	120	675	＋	＋	＋	＋	＋
n为可被某平方数整除的数（即μ(n)＝0）	3	6	41	78	423	＋	＋	＋	＋	＋
n为素数的平方数	2		3		5
n有偶数个相异的素因子（即μ(n)＝1）	2	6	35	56	324	＋	＋	＋	＋	＋
n有奇数个相异的素因子（即μ(n)＝－1）	5	7	33	65	352	＋	＋	＋	＋	＋
n本身为偶数并有奇数个素因子
n本身为偶数并有奇数个相异的素因子	1	2	9	21	100	＋	＋	＋	＋	＋
n本身为奇数并有奇数个素因子	0	1	12	37	204	＋	＋	＋	＋	＋
n本身为奇数并有奇数个相异的素因子	0	0	4	24	139	＋	＋	＋	＋	＋
n本身为偶数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子	1	2	11	15	98	＋	＋	＋	＋	＋
n本身为奇数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子	1	4	24	41	226	＋	＋	＋	＋	＋
n为奇数并有正好两个素因子	1	4	25	39	205	＋	＋	＋	＋	＋
n为偶数并有正好两个素因子	2	3	11		64	＋	＋	＋	＋	＋
n为偶数并有正好三个素因子	1	3	14	24	122	＋	＋	＋	＋	＋
n为偶数并有正好三个相异的素因子
n为奇数并有正好三个素因子	0	1	12	34	173	＋	＋	＋	＋	＋
n为卡迈克尔数	0	0	0	0	0	1＋	＋	＋	＋	＋
n为满足σ(n)是回文数的数	6	10	47	114	688	＋	＋	＋	＋	＋

其它基数

十进制以外的数系也有回文数，如二进制回文数有：

0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…

以上这些数在十进制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…（OEIS数列A006995）。梅森素数是二进制回文素数的子集。

某基数的回文数在另一基数通常不是回文数，像16461₁₀＝404D₁₆（下标数字表示基数，n₁₆表示以十六进制写出的n）。然而，有些数字在几套进制都是回文数（称为“协回文”，copalindromic），如105₁₀在五套不同进制都是回文数：1221₄＝151₈＝77₁₄＝55₂₀＝33₃₄；十进制数1991在十六进制为7C7，也是回文。

7的一些幂在18进制是回文：

• 7³＝ 111
• 7⁴＝ 777
• 7⁶＝ 12321
• 7⁹＝1367631

任何数n在所有b≥n＋1的基数b都是回文（这时n是单位数）；在基为n－1时同样也是回文数（这时n就成了11_n－1）。如果对于2≤b≤n－2，某数在基b都是非回文数，则称其是严格非回文数（Strictly non-palindromic number）。如6在二进制是110，三进制是20，四进制是12，都不是回文数，是严格非回文数。这样的数其中一种特质是6以上的数都是质数，首几项：1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… （OEIS数列A016038）。

参见

• 利克瑞尔数（Lychrel number）
• 回文
• 回文素数

参考文献

1. 徐连信. C语言程序设计. 清华大学出版社. 2005.

外部链接

• Jason Doucette－196回文数探索 / 最终产生回文数中迭代次数最多的（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 196及其它利克瑞尔数（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 10万以下的回文数（页面存档备份，存于互联网档案馆）来自Ask Dr. Math