序列

序列（英语：Sequences）在数学中是指被排成一列的数学实体（如数字、函数），其中常见的就是排成一列的数，即数列。

提示：此条目页的主题不是级数。

一个实数的无限序列（蓝色）。这个序列既不是递增的也不是递减的更不是收敛的，但它是有界的。

正式定义

序列的定义

${\displaystyle S}$ 是一个集合，那

• 函数 ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to S}$ 被称为“定义在 ${\displaystyle S}$ 上的 无穷序列”。而函数值 ${\displaystyle f(i)}$ 可简记为 ${\displaystyle f_{i}}$，甚至函数 ${\displaystyle f}$ 本身也可记为 ${\displaystyle {\{f_{i}\}}_{i\in \mathbb {N} }}$。

• 给定一个正整数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，那函数 ${\displaystyle g:\{1,\,2,...,\,n\}\to S}$ 被称为“定义在 ${\displaystyle S}$ 上的 有限序列”。通常将 ${\displaystyle g(j)}$ 简记为 ${\displaystyle g_{j}}$，且 ${\displaystyle g}$ 本身也记为 ${\displaystyle {\{g_{j}\}}_{j=1}^{n}}$。

• 函数${\displaystyle h:\mathbb {Z} \to S}$ 被称为“定义在 ${\displaystyle S}$ 上的 双无限序列”。

直观上就是用数码去标记一列数学实体（如数字、函数）。

例子和符号

例如，(C,Y,R)是一个字母的序列：顺序是C第一，Y第二，R第三。序列可以是有限的（就像前面这个例子），也可以是无限的，就像所有正偶数的序列（2,4,6,...）。有限序列包含空序列（），它没有元素。序列中的元素也称为项，项的个数（可能是无限的）称为序列的长度。

序列的形式和性质

• 一个给定序列的子序列是从给定序列中去除一些元素，而不改变其他元素之间相对位置而得到的。

• 若序列的项属于一个偏序集，则单调递增序列就是其中每个项都大于等于之前的项；若每个项都严格大于之前的项，这个序列就是严格单调递增的。类似可定义单调递减序列。单调序列是单调函数的一个特例。

• 由整数组成的序列称为整数列；由多项式组成的序列称为多项式列。

• 若S具有拓扑，那么就可以讨论S中的无限序列的收敛。请详见极限。

• 由数组成的序列称为数列；由数列的部分和组成的序列称为级数，例如：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}=1-{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}.}$

应用

计算机领域

有限的序列称为列表（lists）。有限的字符串序列称为字符串（string）。无限的序列称为字符串流（stream）。

参考文献

• Последовательность. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика. Сост. А. П. Савин. 1985 （俄语）. （俄文）

参见

• 柯西序列
• 网 (数学)（序列的推广）
• 序列空间
• 数列
• 整数数列线上大全

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Sequence, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Journal of Integer Sequences （页面存档备份，存于互联网档案馆） (free)
• Sequence. PlanetMath.
• 整数数列在线大全