虚数单位

在数学、物理及工程学里，虚数单位是指二次方程${\displaystyle x^{2}+1=0}$的解。虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程，但可以通过虚数单位将实数系统${\displaystyle \mathbb {R} }$延伸至复数系统${\displaystyle \mathbb {C} }$。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解。例如刚才提到的方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。虚数单位标记为${\displaystyle i}$，在电机工程和相关领域中则标记为${\displaystyle j}$，这是为了避免与电流（记为${\displaystyle i(t)}$或${\displaystyle i}$）混淆。

虚数单位${\displaystyle i}$在复平面的位置。横轴是实数，竖轴是虚数

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各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

质数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同馀 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

定义

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle {{i}^{-{3}}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{-{2}}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{-{1}}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{0}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{1}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{3}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{4}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{5}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{6}}=-1}$

${\displaystyle \ldots }$

虚数单位${\displaystyle i}$定义为二次方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$的两个根中的一个。这方程式又可等价表达为：

${\displaystyle {{x}^{2}}=-1}$。

由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号${\displaystyle i}$。很重要的一点是，${\displaystyle i}$是一个良定义的数学构造。

另外，虚数单位同样可以表示为：

${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$

然而${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$往往被误认为是错的，他们的证明的方法是：

因为${\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1}$，但是-1不等于1。

但请注意：${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}$成立的条件有${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$不能为负数。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设${\displaystyle i}$是一个未知数，然后依照${\displaystyle i}$的定义，替代任何${\displaystyle i^{2}}$的出现为-1。${\displaystyle i}$的更高整数幂数也可以替代为${\displaystyle -i}$，${\displaystyle 1}$，或${\displaystyle i}$，根据下述方程式：

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}$，

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}$，

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}$。

一般地，有以下的公式：

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$

其中${\displaystyle {\bmod {4}}}$表示被4除的余数。

i和-i

方程${\displaystyle x^{2}=-1}$有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解${\displaystyle i}$，那么${\displaystyle -i}$（不等于${\displaystyle i}$）也是一个解，由于这个方程是${\displaystyle i}$的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为${\displaystyle i}$，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然${\displaystyle -i}$和${\displaystyle i}$在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是${\displaystyle i}$和${\displaystyle -i}$之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同时将所有i替换为-i，该等式仍成立。

${\displaystyle -i^{2}=1}$

${\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i}}}$

正当的使用

虚数单位有时记为${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$仅对于非负的实数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$才成立。

假若这个关系在虚数仍成立，则会出现以下情况：

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$（不正确）

${\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}$（不正确）

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i}$（不正确）

i的运算

虚数单位${\displaystyle i}$的平方根在复平面的位置

许多实数的运算都可以推广到${\displaystyle i}$，例如平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与${\displaystyle i}$有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

• ${\displaystyle i}$的平方根为：

${\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

这是因为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}}$

使用算术平方根符号表示：

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

其解法为先假设两实数${\displaystyle x}$及${\displaystyle y}$，使得${\displaystyle (x+iy)^{2}=i}$，求解${\displaystyle x,y}$^[1]

• 一个数的${\displaystyle ni}$次幂为：

${\displaystyle x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}}$

一个数的${\displaystyle ni}$次方根为：

${\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}}$

利用欧拉公式

${\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}}$，${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

代入不同的${\displaystyle k}$值，可计算出无限多的解。当${\displaystyle k=0}$最小的解是${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx }$0.20787957635076...^[2]

• 以${\displaystyle i}$为底的对数为：

${\displaystyle \log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }}$

• ${\displaystyle i}$的余弦是一个实数：

${\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx }$1.5430806348152...

• ${\displaystyle i}$的正弦是纯虚数：

${\displaystyle \sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx }$1.1752011936438...${\displaystyle i}$

在程式语言

• 大部分的程式语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或Math.Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。
• 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。
• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。
• 在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for回圈可以有其他用途。
• 在Mathematica，虚数单位的表示方法为I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必须启用虚数功能，并选择用i还是j表示虚数单位。
• Go语言于第 1.0 版就内建虚数和复数的支持，变数类型为 complex64和complex128^[3]。

注解

1. University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （页面存档备份，存于互联网档案馆） URL retrieved March 26, 2007.
2. "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
3. Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始内容存档于2022-06-28）.

参见

• 代数基本定理
• 虚数
• 复平面
• 单位根
• i

参考文献

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接

• 欧拉对多项式的复数根的研究
• i作为-1的平方根（英文视频）^{[永久失效链接]}
• ${\displaystyle i^{7321}}$的计算方法举例（英文视频）