不属于实数,是一个纯虚数,同时也是复数位于复数平面,其实部为0、虚部为2[12],辐角为90度(
弧度)[13],其也能表达为
[14]:7或
[15]。
是一个高斯整数[16][17][18],高斯整数分解为
[19]:711,或
[20]:433,其中,1+i为2i的高斯质因数。[19]:711[21][22]:247
- 所有复数的可以表达为
之幂的线性组合。[23]换句话说若进位制以
为底数,则可独一无二地表示全体复数[24]。该进制称为2i进制,由高德纳于1955年发现。[25]
- 复数的虚数部可以定义为复数与其共轭复数之差除以
的商,[26]换言之,则
。[2]:32
![{\displaystyle Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b576b6bc60f9f5450aea1ff5a6af23f85d0ce4a)
- 正弦函数可以定义为纯虚指数函数与其倒数之差除以
的商。[27][28]:41[2]:64
![{\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9657455a3761eb46ef04aad42b79c3a92ba17ed4)
等于最小的质数和虚数单位的积,即
[15],其中
为第
个质数。
- 虚数单位和虚数单位的倒数相差
。
- 任意数与
相乘的意义为模放大两倍并在复平面上以原点为中心逆时针旋转90度。[14]:7[2]:20-21
的前几次幂为1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...[29],其会在实部和虚部交错变换,其单位会在1、i、−1、−i中变化。其中,实数项为−4的幂[30] ,虚数的正值项为16的幂的2倍[31] 、虚数的负值项为16的幂的−8倍[32],因此这种特性使得
作为底数可以不将复数表达为实部与虚部就能表示全体复数,[29]并且有研究以此特性设计复数运算电路[33]。
是
的相反数,其平方根曾提议作为复数进位制的底数。[36]
More information 与
...
−1+3i
|
3i
|
1+3i
|
−1+2i
|
2i
|
1+2i
|
−1+i
|
i
|
1+i
|
与 相邻的高斯整数示意图
|
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![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png)
“
3i”重定向至此。关于与本条目同名之其他主题,请见“
3I”。
是在虚数轴正向距离原点3个单位的纯虚数,是虚数单位的三倍,同时也是负九(−9)的平方根,与纯虚数2i和4i相邻、并与高斯整数−1+3i和1+3i相邻。
的为虚数单位与质数3的乘积,其中,3也是高斯质数,因此
的高斯整数分解为![{\displaystyle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
。
是一个高斯质数
[37],在虚数轴正向距离原点
个单位,其实部为一、虚部为2i,与纯虚数2i相邻、并与高斯整数1+3i、1+i和3+2i相邻。
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