二次方程

二次方程是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程^[1]。

一元二次方程

更多信息：一元二次方程

方程的一般形式

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为：${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$，其中 ${\displaystyle a\neq 0}$。${\displaystyle ax^{2}\,}$为方程的二次项，${\displaystyle a\,}$为方程的二次项系数；${\displaystyle bx\,}$为一次项，${\displaystyle b\,}$为一次项系数；${\displaystyle c\,}$为常数项。若${\displaystyle a=0\,}$，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。

求根公式

■${\displaystyle y={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x-{\frac {4}{3}}\,}$
■${\displaystyle y=-{\frac {4}{3}}x^{2}+{\frac {4}{3}}x+{\frac {1}{3}}\,}$
■${\displaystyle y=x^{2}+{\frac {1}{2}}\,}$

一元二次方程根的判别式为${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$。

若${\displaystyle \Delta >0\,}$，则该方程有两个不相等的实数根： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$；

若${\displaystyle \Delta =0\,}$，则该方程有两个相等的实数根： ${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\,}$；

若${\displaystyle \Delta <0\,}$，则该方程有一对共轭复数根： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\,}$。

由上可知，在实数范围内求解一元二次方程，当${\displaystyle \Delta \geq 0\,}$时，方程才有根（有两个不等实数根或两个相等实数根）；当${\displaystyle \Delta <0\,}$时，方程有两个复数根，但是在实数范围无解。

根与系数的关系

更多信息：韦达定理

设${\displaystyle x_{1}\,}$，${\displaystyle x_{2}\,}$是一元二次方程 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ （${\displaystyle a\neq 0\,}$ ）的两根，则

两根之和：${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$

两根之积：${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

求根公式的由来

中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做“根”，其后译成拉丁文radix。

我们通常把 ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ 称之为 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ 的求根公式：

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}$$

或不将${\displaystyle x^{2}}$系数化为1：

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}$$

对应函数的极值

设 ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$（${\displaystyle a\neq 0\,}$），
对${\displaystyle x\,}$求导，得

${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=2ax+b}$

令 ${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=0}$，得

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}}$

即为 ${\displaystyle y\,}$的极值点，该式亦为函数图形（即抛物线）的对称轴方程。 将 ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ 代入 ${\displaystyle y\,}$，可得

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}}$

即为 ${\displaystyle y\,}$ 的极值。

根据函数取极值的充分条件，即：
${\displaystyle f''(x)<0\,}$，${\displaystyle x\,}$是${\displaystyle f(x)\,}$ 的极大值点，
${\displaystyle f''(x)>0\,}$，${\displaystyle x\,}$是${\displaystyle f(x)\,}$ 的极小值点；
由${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} ^{2}y}{\mathop {\mbox{d}} x^{2}}}=2a}$，可知：
当${\displaystyle a<0\,}$时（抛物线开口向下），${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$为${\displaystyle y\,}$的极大值点；
当${\displaystyle a>0\,}$时（抛物线开口向上），${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$为${\displaystyle y\,}$的极小值点。

参见

• 一次方程
• 抛物线
• 配方法
• 圆锥曲线

参考

1. 一般二次方程的讨论. [2012-12-29]. （原始内容存档于2019-07-24）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）