半正矢

在数学中，半正矢（英文：haversed sine^[1]、 haversine或semiversus^[2][3]） 或半正矢函数是一种三角函数，是正矢函数的一半，因半正矢公式出名，在早期导航术中，半正矢是一个很重要的函数，因为半正矢公式可以在给定角度位置（如经度和纬度）精确地计算出任何球面上的两点间的距离，若不使用半正矢函数，则该计算会出现${\displaystyle \sin ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)}$和对应反运算的${\displaystyle 2\arcsin {\sqrt {z}}}$，因此若有半正矢函数的函数表，则能够省去平方及平方根的运算。^[4]

半正矢
性质
奇偶性	偶
定义域	(-∞,∞)
到达域	[0,1]
周期	${\displaystyle 2\pi }$ （360°）
特定值
当x=0	0
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	(${\displaystyle \left(2k+1\right)\pi }$, 1) (360°k+180°, 1)
最小值	(2${\displaystyle k\pi }$, 0) (360°k, 0)
其他性质
渐近线	N/A
根	${\displaystyle 2k\pi }$ （${\displaystyle 360^{\circ }k}$）
临界点	${\displaystyle k\pi }$ （${\displaystyle 180^{\circ }k}$）
拐点	${\displaystyle k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}}$ （${\displaystyle 180^{\circ }k-90^{\circ }}$）
不动点	0
k是一个整数。

半正矢函数是一个周期函数，其最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）。 其定义域为整个实数集，值域是${\displaystyle [0,1]}$。 在自变量为${\displaystyle (2n+1)\pi }$（${\displaystyle 360^{\circ }n+180^{\circ }}$，其中${\displaystyle n}$为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为${\displaystyle 2n\pi }$（或${\displaystyle 360^{\circ }n}$）时，该函数有极小值0。半正矢函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

半正矢函数有很多种表示法，包括了haversin(θ)、 semiversin(θ)、 semiversinus(θ)、 havers(θ)、 hav(θ)、^[5][6] hvs(θ)、^{[注 1]} sem(θ)或 hv(θ)^[7]。

历史

半正矢函数出现于半正矢公式中，其可以据两点的经度和纬度来确定大圆上两点之间距离，且在导航术中被广泛地使用，因此十九和二十世纪初的导航和三角测量书中包含了半正矢值表和对数表。^[8][9][10]第一份英文版的半正矢表由詹姆斯·安德鲁（James Andrew）在1805年印刷出版^[11]。而弗洛里安·卡乔里相信类似的术语在1801年就曾被约瑟夫·德门多萨以里奥斯（英语：Josef de Mendoza y Ríos）使用过^[12][13]。

1835年，詹姆斯·英曼（英语：James Inman）^[13][14][15]在其著作《航海与航海天文学：供英国海员使用》（Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen）第三版中创造了“半正矢”一词^[16]以简化地球表面两点之间的距离计算，应用于球面三角学关于导航的部分。^[17][16]

其他备受推崇的半正矢表还有理查德·法利（Richard Farley）发表于1856年的半正矢表^[18][19]以及约翰·考菲尔德·汉宁顿（John Caulfield Hannyngton）发表于1876年的半正矢表^[18][20]。

半正矢在导航术中持续有相关应用，而近几十年来发现了半正矢新的应用。如1995年来布鲁斯·D·斯塔克（Bruce D. Stark）利用高斯对数（英语：Gaussian logarithm）之清晰的月角距计算方法^[21][22]，以及2014年提出用于视线缩减（英语：Sight reduction）之更紧凑的方法^[7]。

定义

正弦（黄色）与半正矢（蓝色）的关系

半正矢函数在复数域的色相环复变函数图形

半正矢定义为正矢函数的一半：^[1]

${\displaystyle \operatorname {hav} z={\frac {1}{2}}\operatorname {vers} z}$

其他等价的定义包括：^[1]

${\displaystyle \operatorname {hav} z={\frac {1-\cos z}{2}}=\sin ^{2}{\frac {z}{2}}}$

对应的指数定义为：^[23]

${\displaystyle \operatorname {hav} z={\frac {2-e^{iz}-e^{-iz}}{4}}}$

半正矢也可以使用麦克劳林级数来定义：^[1]

${\displaystyle \operatorname {hav} z={\frac {z^{2}}{4}}-{\frac {z^{4}}{48}}+{\frac {z^{6}}{1440}}-{\frac {z^{8}}{80640}}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{2(2k)!}}z^{2k}}$

微分与积分

半正矢函数的积分${\displaystyle \int \operatorname {hav} z\;dz}$在复数域的色相环复变函数图形

半正矢函数的微分为：^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {hav} z={\frac {\sin z}{2}}}$

积分为：^[1]

${\displaystyle \int \operatorname {hav} z\;dz={\frac {z-\sin z}{2}}+C\,\!}$

反半正矢

反半正矢

反半正矢的函数图形

反半正矢在复数域的色相环复变函数图形

反半正矢或反半正矢函数是半正矢函数的反函数。由于半正矢函数是周期函数，导致半正矢函数是双射且不可逆的而不是一个对射函数（即多个值可能只得到一个值，例如1和所有同界角），故无法有反函数，但我们可以限制其定义域，因此，反半正矢是单射和满射也是可逆的，另外，我们也需要限制值域，将半正矢函数函数的值域定义在${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$（[0,180°]）。在此定义下，其最小值为0、最大值为${\displaystyle \pi }$（180°）。该定义只考虑了实数的部分，进一步的，我们可以将反半正矢以反正弦进行定义，进一步地将之推广到复数域：^[24]

${\displaystyle \operatorname {archav} z=2\arcsin {\sqrt {z}}}$

反半正矢函数也可以使用级数来定义：^[24]

${\displaystyle \operatorname {archav} x=2x^{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{\frac {3}{2}}}{3}}+{\frac {3x^{\frac {5}{2}}}{20}}+{\frac {5x^{\frac {7}{2}}}{56}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}\left(2n+1\right)}}{\binom {2n}{n}}x^{n+{\frac {1}{2}}}}$

反半正矢函数的微分与积分为：^[24]

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {archav} z={\frac {1}{\sqrt {\left(1-z\right)z}}}}$

${\displaystyle \int \operatorname {archav} z\;dz=\left(2z-1\right)\arcsin \left({\sqrt {z}}\right)+{\sqrt {z\left(1-z\right)}}+C\,\!}$

半正矢公式

主条目：半正矢公式

对于任何球面上的两点，圆心角的半正矢值可以通过如下公式计算：

${\displaystyle \operatorname {hav} \left({\frac {d}{r}}\right)=\operatorname {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

• ${\displaystyle d}$ 是两点之间的距离（沿大圆，见球面距离）；
• ${\displaystyle r}$ 是球的半径；
• ${\displaystyle \varphi _{1}\varphi _{2}}$ ：点 1 的纬度和点 2 的纬度，以弧度制度量；
• ${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}}$ ：点 1 的经度和点 2 的经度，以弧度制度量。

左边的等号 ${\displaystyle {\frac {d}{r}}}$ 是圆心角，以弧度来度量。

半正矢定理

参见：半正矢公式 § 半正矢定理

给出一个单位球，一个在表面的球面三角形三个过三点 ${\displaystyle (u,v,w)}$ 的大圆所围出来的区域。如图，这个球面三角形的三边分别是 ${\displaystyle a}$（${\displaystyle \mathbf {u} }$ 至 ${\displaystyle \mathbf {v} }$）， ${\displaystyle b}$ （${\displaystyle \mathbf {u} }$ 到 ${\displaystyle \mathbf {w} }$）和 ${\displaystyle c}$ （${\displaystyle \mathbf {v} }$ 至 ${\displaystyle \mathbf {w} }$）并且角 ${\displaystyle C}$ 对边 ${\displaystyle c}$ 那么有如下关系：

${\displaystyle \operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\operatorname {hav} (C)}$^[25]

相关函数

半馀矢

半馀矢函数的函数图形

半馀矢（英文：hacoversed sine、hacoversine^[26]或 cohaversine）是半正矢的馀角函数，为馀矢函数的一半，写为hacoversin(θ)、 semicoversin(θ)、 hacovers(θ)、 hacov(θ)^[27]或hcv(θ)。

半馀矢定义为：

${\displaystyle \operatorname {hacoversin} z={\frac {1}{2}}\operatorname {coversin} z}$

其他等价的定义包括：^[26]

${\displaystyle \operatorname {hacoversin} z={\frac {1-\sin z}{2}}}$

馀的半正矢

馀的半正矢函数的函数图形

馀的半正矢（英文：haversed cosine^[28] or havercosine），是馀的正矢函数的一半，写为havercosin(θ), havercos(θ), hac(θ)或 hvc(θ)。 馀的半正矢定义为：

${\displaystyle \operatorname {havercosin} z={\frac {1}{2}}\operatorname {vercosin} z}$

其他等价的定义包括：^[28]

${\displaystyle \operatorname {hacoversin} z=\cos ^{2}\!\left({\frac {z}{2}}\right)={\frac {1+\cos z}{2}}}$

升馀弦分布（英语：Raised cosine distribution）

一个周期（0 < θ < 2π）的正弦或更常见的馀的半正矢（havercosine）波形也常用于讯号处理和控制理论中，作为脉冲或窗函数的形状（包括汉恩窗（英语：Hann function）、汉恩–泊松窗和图基窗），因为它平滑地（在值和斜率上连续）从0递增到1（对于半正矢），再对称地递减回0。^{[注 1]} 在这些应用中，它被称为汉恩函数（英语：Hann function）或升馀弦滤波器。 同样，馀的正矢（vercosine）之半值函数（havercosine）也用于机率论和统计学的升馀弦分布（英语：Raised cosine distribution）^[29]。

升馀弦分布（英语：Raised cosine distribution）可以使用馀的半正矢定义如下：

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,}$

馀的半馀矢

馀的半馀矢函数的函数图形

馀的半馀矢（英文：hacoversed cosine^[30]、 hacovercosine或 cohavercosine）是馀的半正矢的馀角函数，可定义为馀的馀矢函数的一半，写为hacovercosin(θ)、 hacovercos(θ)或 hcc(θ)。 馀的半馀矢定义为：

${\displaystyle \operatorname {hacovercosin} z={\frac {1}{2}}\operatorname {covercosin} z}$

其他等价的定义包括：^[30]

${\displaystyle \operatorname {hacovercosin} z={\frac {1+\sin z}{2}}}$

注释

1. 在讯号分析中，hvs有时用于半正矢函数（haversine function），也有时代表单位阶跃函数。

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Haversine. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-11-06]. （原始内容存档于2005-03-10） （英语）.
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3. Sauer, Frank. Semiversus-Verfahren: Logarithmische Berechnung der Höhe. Hotheim am Taunus, Germany: Astrosail. 2015 [2004] [2015-11-12]. （原始内容存档于2013-09-17） （德语）.
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5. Rider, Paul Reece; Davis, Alfred. Plane Trigonometry. New York, USA: D. Van Nostrand Company. 1923: 42 [2015-12-08]. （原始内容存档于2022-05-28）.
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7. Rudzinski, Greg. Ix, Hanno. Ultra compact sight reduction. Ocean Navigator (Portland, ME, USA: Navigator Publishing LLC). July 2015, (227): 42–43 [2015-11-07]. ISSN 0886-0149.
8. H. B. Goodwin, The haversine in nautical astronomy, Naval Institute Proceedings, vol. 36, no. 3 (1910), pp. 735–746: Evidently if a Table of Haversines is employed we shall be saved in the first instance the trouble of dividing the sum of the logarithms by two, and in the second place of multiplying the angle taken from the tables by the same number. This is the special advantage of the form of table first introduced by Professor Inman, of the Portsmouth Royal Navy College, nearly a century ago.
9. W. W. Sheppard and C. C. Soule, Practical navigation (World Technical Institute: Jersey City, 1922).
10. E. R. Hedrick, Logarithmic and Trigonometric Tables (Macmillan, New York, 1913).
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14. White, J. D. (unknown title). Nautical Magazine. February 1926. (NB. According to Cajori, 1929^[13], this journal has a discussion on the origin of haversines.)
15. White, J. D. (unknown title). Nautical Magazine. July 1926. (NB. According to Cajori, 1929^[13], this journal has a discussion on the origin of haversines.)
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20. Hannyngton, John Caulfield. Haversines, Natural and Logarithmic, used in Computing Lunar Distances for the Nautical Almanac. London. 1876. (A 7-place haversine table from 0° to 180°, log. haversines at intervals of 15", nat. haversines at intervals of 10".)
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23. Wolfram, Stephen. "((e^(i*x/2)-e^(-i*x/2))/2i)^2". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
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