升馀弦滤波器

升馀弦滤波器是一种经常用于数位调变的脉冲整形（英语：Pulse shaping）滤波器，它能够最大限度地减少符码间干扰（英语：Intersymbol interference）（ISI）。之所以会如此命名是因为，该滤波器的最简形式频谱（${\displaystyle \beta =1}$）的非零部分为馀弦函数，且被“抬升”至水平轴${\displaystyle f}$上方。

数学描述

升馀弦滤波器在各种滚降系数下的频率响应

升馀弦滤波器在各种滚降系数下的脉冲响应

升馀弦滤波器是一种低通奈奎斯特滤波器（英语：Nyquist ISI criterion）的实作，即具有残对称性的滤波器，这表示它的频谱呈现约${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$的奇对称，${\displaystyle T}$是通讯系统的符元周期。

其频域描述为分段定义传递函数，由下式给出：

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

或以馀的半正矢表示：

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}$

以两个值为特征；滚降系数 ${\displaystyle \beta }$ 和符元率的倒数${\displaystyle T}$ 。

这种滤波器的脉冲响应^[1]由下式给出：

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

以归一化的sinc函数表示。这里使用的是通讯领域的定义${\displaystyle \sin(\pi x)/(\pi x)}$，而非数学领域所用的定义。

滚降系数

滚降（英语：Roll-off）系数${\displaystyle \beta }$是对滤波器带宽过量（excess bandwidth）的度量，即所占带宽超过奈奎斯特频宽${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$的部分，有些作者会使用${\displaystyle \alpha }$ 表示. ^[2]

若我们将多馀的频宽表示为${\displaystyle \Delta f}$ ，则：

${\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f}$

${\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}}$是符元率。

该图显示为${\displaystyle \beta }$在0和1之间变化的振幅响应，以及对脉冲响应的相应作用。可以看出，时域的涟波准位会随著${\displaystyle \beta }$减少而增加，这可以减少滤波器的频寛过量，但只能以伸长脉冲响应为代价。

${\displaystyle \beta =0}$

当${\displaystyle \beta }$靠近0时，滚降区变得无限窄，因此：

${\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)}$

${\displaystyle \operatorname {rect} (\cdot )}$是矩形函数，所以脉冲响应会趋近${\displaystyle h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)}$ .因此，在这种情况下，它会收敛到理想或砖墙滤波器。

${\displaystyle \beta =1}$

当${\displaystyle \beta =1}$ ，频谱的非零部分是纯粹的升馀弦，可化简为：

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

或

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

频宽

升馀弦滤波器的频宽通常定义为其频谱的非零正频率部分的宽度，即：

${\displaystyle BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}$

自相关函数

升馀弦函数的自相关函数如下：

${\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}$

自相关分析可用于分析各种取样偏移量结果。

应用

连续升馀弦脉冲，显示零ISI特性

当用于过滤符元流时，奈奎斯特滤波器具有消除 ISI 的特性，因为除了${\displaystyle n=0}$ 的情形之外，所有${\displaystyle nT}$ （${\displaystyle n}$是整数）的脉冲响应都是零。

因此，如果传输的波形在接收端被正确采样，原本的符元值就可以完全恢复。

然而，在许多实际的通讯系统，由于受白杂讯之影响，会在接收器中使用匹配滤波器。对于零 ISI，发射和接收滤波器的净响应必须等于${\displaystyle H(f)}$ ：

${\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)}$

因此：

${\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}$

这些滤波器称为根升馀弦滤波器（英语：Root-raised-cosine filter）。

升馀弦是一种常用于布拉格光纤光栅（英语：Fiber Bragg grating）的变迹滤波器。

参考文献

1. Michael Zoltowski - Equations for the Raised Cosine and Square-Root Raised Cosine Shapes (PDF). [2021-08-16]. （原始内容 (PDF)存档于2022-03-28）.
2. 德语：Raised-Cosine-Filter German version of Raised-Cosine-Filter

• Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
• Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5ISBN 0-07-113814-5.
• Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) Comments on "Performance of Asynchronous Band-Limited DS/SSMA Systems" . IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, No. 9

外部链接

• Technical article entitled "The care and feeding of digital, pulse-shaping filters" （页面存档备份，存于互联网档案馆） originally published in RF Design, written by Ken Gentile.