限制 (数学)

在数学中，映射的限制 ${\displaystyle f}$ 是一个新的映射，记作 ${\displaystyle f\vert _{A}}$ 或者 ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}}}$ ，它是通过为原来的映射 ${\displaystyle f}$ 选择一个更小的定义域 ${\displaystyle A}$ 来得到的。反过来，也称映射 ${\displaystyle f}$ 是映射 ${\displaystyle f\vert _{A}}$ 的扩张。

正式定义

设 ${\displaystyle f:E\to F}$ 是一个集合 ${\displaystyle E}$ 到集合 ${\displaystyle F}$ 的映射。如果 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle E}$ 的子集，那么称满足$${\displaystyle \forall x\in A,\quad {f|}_{A}(x)=f(x)}$$的映射^[1] $${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$ 是映射 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle A}$ 上的限制。不正式地说， ${\displaystyle {f|}_{A}}$ 是和 ${\displaystyle f}$ 相同的映射，但只定义在 ${\displaystyle A}$ 上。

如果将映射 ${\displaystyle f}$ 看作一种在笛卡尔积 ${\displaystyle E\times F}$ 上的关系 ${\displaystyle (x,f(x))}$ ，然后 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle A}$ 上的限制可以用它的图像来表示：

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$

其中 ${\displaystyle (x,f(x))}$ 表示图像 ${\displaystyle G}$ 中的有序对。

扩张

映射 ${\displaystyle F}$ 称为另一映射的 ${\displaystyle f}$ 的扩张，当且仅当 ${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {Dom} (f)}=f}$ 。也就是说同时满足下面两个条件：

1. 属于 ${\displaystyle f}$ 之定义域的 ${\displaystyle x}$ 必然也在 ${\displaystyle F}$ 的定义域中，即 ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)\subseteq \operatorname {Dom} (F)}$ ；
2. ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle F}$ 在它们共同的定义域上的行为相同，即${\displaystyle \forall x\in \operatorname {Dom} (f),\quad f(x)=F(x)}$ 。

具有特定性质的扩张

数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大，并要求扩张后的结果仍具有该性质，但扩张后。如寻找一个线性映射 ${\displaystyle f}$ 的扩张映射 ${\displaystyle F}$ ，且 ${\displaystyle F}$ 仍是线性的，这时说 ${\displaystyle F}$ 是 ${\displaystyle f}$ 的一个线性扩张，或者说；寻找一个连续映射 ${\displaystyle f}$ 的扩张映射 ${\displaystyle F}$ ，且 ${\displaystyle F}$ 仍连续，则称为进行了连续扩张；诸如此类。

具有特定性质的扩张可能是唯一的，这时则不必给出扩张映射 ${\displaystyle F}$ 的详细定义，如稠密子集到豪斯多夫空间的映射的连续扩张。

例子

1. 非单射函数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\ x\mapsto x^{2}}$ 在域${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$ 上的限制是${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ ，而这是一个单射。
2. 将Γ函数限制在正整数集上，并将变量平移 ${\displaystyle 1}$ ，就得到阶乘函数： ${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$ 。

限制的性质

• 映射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 在其整个定义域 ${\displaystyle X}$ 上的限制即是原函数，即 ${\displaystyle f|_{X}=f}$ 。
• 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同，只要最终的定义域一样。也就是说，若 ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {Dom} (f)}$ ，则 ${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}}$ 。
• 集合 ${\displaystyle X}$ 上的恒等映射在集合 ${\displaystyle A}$ 上的限制即是 ${\displaystyle A}$ 到 ${\displaystyle X}$ 的包含映射。^[2]
• 连续函数的限制是连续的。^{[3] [4]}

应用

反函数

更多信息：反函数

定义域为 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的函数 ${\displaystyle x^{2}}$ 没有反函数。若考虑 ${\displaystyle x^{2}}$ 到非负实数的限制，则它有一个反函数，称为平方根 ${\displaystyle x}$ 。

若某函数存在反函数，其映射必为单射。若映射 ${\displaystyle f}$ 非单射，可以限制其定义域以定义其一部分的反函数。如：

　　${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

因为 ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$，故非单射。但若将定义域限制到 ${\displaystyle x\geq {0}}$ 时该映射为单射，此时有反函数

　　${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

（若限制定义域至 ${\displaystyle x\leq {0}}$，输出 ${\displaystyle y}$ 的负平方根的函数为反函数。）另外，若允许反函数为多值函数，则无需限制原函数的定义域。

粘接引理

更多信息：粘接引理（英语：Pasting lemma）

点集拓扑学中的粘接引理联系了函数的连续性与限制函数的连续性。

设拓扑空间 ${\displaystyle A}$ 的子集 ${\displaystyle X,\ Y}$ 同时为开或闭，且满足 ${\displaystyle A=X\cup {Y}}$，设 ${\displaystyle B}$ 为拓扑空间。若映射 ${\displaystyle f:A\to {B}}$ 到 ${\displaystyle X}$ 及 ${\displaystyle Y}$ 的限制都连续，则 ${\displaystyle f}$ 也是连续的。

基于此结论，粘接在拓扑空间中的开或闭集合上定义的两个连续函数，可以得到一个新的连续函数。

层

主条目：层 (数学)

层将函数的限制推广到其他物件的限制。

层论中，拓扑空间${\displaystyle X}$的每个开集${\displaystyle U}$，有另一个范畴中的物件${\displaystyle F(U)}$与之对应，其中要求${\displaystyle F}$满足某些性质。最重要的性质是，若一个开集包含另一个开集，则对应的两个物件之间有限制态射，即若${\displaystyle V\subseteq U}$，则有态射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$，且该些态射应仿照函数的限制，满足下列条件：

1. 对${\displaystyle X}$的每个开集${\displaystyle U}$，限制态射${\displaystyle \mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$为${\displaystyle F(U)}$上的恒等态射。
2. 若有三个开集${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$，则复合${\displaystyle \mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}}$。
3. （局部性）若${\displaystyle (U_{i})}$为某个开集${\displaystyle U}$的开覆盖，且${\displaystyle s,t\in F(U)}$满足：对所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}}$，则${\displaystyle s=t}$。
4. （黏合) 若${\displaystyle (U_{i})}$为某个开集${\displaystyle U}$的开覆盖，且对每个${\displaystyle i}$，给定截面${\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}$，使得对任意两个${\displaystyle i,j}$，都有${\displaystyle s_{i},s_{j}}$在定义域重叠部分重合（即${\displaystyle s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}}$），则存在截面${\displaystyle s\in F(U)}$使得对所有${\displaystyle i}$，${\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}}$。

所谓拓扑空间${\displaystyle X}$上的层，就是该些物件${\displaystyle F(U)}$和态射${\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}}$组成的整体${\displaystyle (F,\mathrm {res} )}$。若仅满足前两项条件，则称为预层。

引注

1. Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9.
2. Halmos, Paul. Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
3. Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.
4. Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.