分类公理
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在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学分支中,分类公理模式、或分离公理模式、或受限概括公理模式是 Zermelo-Fraenkel 集合论中的一个公理模式。它也叫做概括公理模式,尽管这个术语也用于下面讨论的无限制概括
假定 P 是不含符号 B 的一个单变量谓词。在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,这个公理模式读做:
换句话说:
要理解这个公理模式,注意集合 B 必须是 A 的子集。所以,这个公理模式实际上说的是,给定集合 A 和谓词 P,我们可以找到 A 的子集 B,它的成员正是那些满足 P 的 A 的成员。通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们通常使用集合建构式符号把它指示为 {x∈A : P(x)}。所以这个公理的本质是:
- 一个通过一个谓词定义的集合的任何子类自身是一个集合。
分类公理模式是与 ZFC 集合论有关的公理集合论系统的特征,但在根本上不同的可替代的集合论系统中通常不出现。例如,新基础集合论和正集合论使用对朴素集合论的概括公理的不同的限制。Vopenka 的可替代的集合论有一个特殊要点,它允许集合的真子类的存在,这样的真类叫做半集合。即使在与 ZFC 有关的系统中,这个公理模式有时也限制于带有有界量词(英语:Bounded quantifier)的公式,比如在KPU中。