量子隧穿效应

在量子力学里，量子隧穿效应（Quantum tunneling effect）指的是，像电子等微观粒子能够穿入或穿越位势垒的量子行为，尽管位势垒的高度大于粒子的总能量。在经典力学里，这是不可能发生的，但使用量子力学理论却可以给出合理解释。^[1]:xix

量子隧穿效应示意图。在粒子穿越高位势垒阻碍的过程中，量子幅不会立刻变为零，而会呈指数衰变，因此，粒子抵达位势垒的另一边的概率也会降低

量子隧穿效应是太阳核聚变所倚赖的机制。量子隧穿效应限制了太阳燃烧的速率，是太阳聚变循环的瓶颈，因此维持太阳的长久寿命。^[2]:625[3]许多现代器件的运作都倚赖这效应。例如，隧道二极管、场致发射、约瑟夫森结、磁隧道结（英语：magnetic tunnel junction）等等。扫描隧道显微镜、原子钟也应用到量子隧穿效应。^{[2]:257, 260, 437, 454}量子隧穿理论也被应用在半导体物理学、超导体物理学等其它领域。

至2017年为止，由于对于量子隧穿效应在半导体、超导体等领域的研究或应用，已有5位物理学者获得诺贝尔物理学奖。^[4]

历史

弗里德里希·洪德

1927年，在研究分子光谱时，弗里德里希·洪德发现，对于双阱位势（英语：double-well potential）案例，偶对称量子态与奇对称量子态会因量子叠加形成非定常波包，其会从其中一个阱穿越过中间障碍到另外一个阱，然后又穿越回来，这样往往返返的震荡。洪德定量给出震荡周期与位势垒的高度、宽度之间的关系。^[1]:4[5]

乔治·伽莫夫于1928年，发表论文用量子隧穿效应解释原子核的阿尔法衰变。在经典力学里，粒子会被牢牢地束缚于原子核内，因为粒子需要超强的能量才能逃出原子核的位势。经典力学无法解释阿尔法衰变。在量子力学里，粒子不需要具有比位势还强劲的能量，就可以逃出原子核的束缚；粒子可以概率性的穿越过原子核的位势，从而逃出原子核的束缚。伽莫夫想出原子核的位势模型，其为吸引性核位势与排斥性库仑位势共同形成。借着这模型，他用薛定谔方程推导出进行阿尔法衰变的放射性粒子的半衰期与能量的关系方程，即盖革-努塔尔定律（英语：Geiger-Nuttal law）。^[1]:2

马克斯·玻恩在一场伽莫夫的专题研讨会里，明白了伽莫夫理论的重要性，玻恩认为，这理论可能可以应用于其它领域，例如，电子从金属表面冷发射的现象。玻恩是量子力学大师，他发现伽莫夫理论存在瑕疵，伽莫夫理论所使用的哈密顿量是厄米算符，其特征值必须是实数，而不是伽莫夫所假定的复数。为此，经过几个星期的努力，玻恩将这理论加以修改，并仍旧维持不变原先的结果。伽莫夫提出的阿尔法衰变机制是首次成功应用量子力学于核子现象的案例。^{[1]:2-3[6]:322-323}

同时期，普林斯顿大学副教授罗纳德·格尼（英语：Ronald Gurney）阅读了两篇关于量子隧穿效应的论文。其中一篇的作者是罗伯特·奥本海默。在这篇论文里，奥本海默将氢原子激发态的自电离（英语：autoionization）归因于量子隧穿效应，在原子里，束缚电子的库仑位势阱被强劲电场改变，因此形成有限位势垒，其可被电子穿越而过。^[7]另一篇的作者是拉尔夫·福勒与罗特哈·诺德海姆（英语：Lothar Nordheim）。他们研究发现，一维量子系统具有某些很有意思的量子隧穿性质，可以用来解释电子的冷发射，即施加强劲外电场于冷金属可以促成电子被发射的现象。^[7]早在1922年，朱利斯·利廉费德（英语：Julius Lilienfeld）就已观察到电子冷发射现象，但物理学者最初都无法对于这现象给出合理解释。格尼认为，除了电子冷发射现象以外，量子隧穿效应也可以用来解释阿尔法衰变。他找到欧内斯特·卢瑟福的学生，普林斯顿大学副教授爱德华·康登一起合作研究，很快地，他们也独立地研究出阿尔法衰变的量子隧穿效应。^[1]:3[8]

之后，两组物理团队分别继续发表了一些关于量子隧穿效应的论文。伽莫夫的论文指出，低能量质子或阿尔法粒子可以穿越进入原子核，不管它们的能量是否高过位势垒的高度。格尼的论文详细地解释了谐振隧穿的物理机制。1931年，华特·萧特基给出德文术语“wellenmechanische Tunneleffekt”，即“波动力学隧穿效应”。隔年，雅科夫·弗伦克尔在著作《波动力学，基本理论》里，首先给出英文术语“tunnel effect”。^[4]在30年代与40年代，物理学者尝试用电子隧穿机制来解释在金属半导体系统里电子流的整流性质，但遭遇到很多困难，时常会得到相反的答案。直到1947年，由于发现晶体管，电子隧穿效应才又成为热门研究论题。^[1]:4

江崎玲於奈于1957年发明了隧道二极管，这器件展示出固体的电子隧穿性质。隧道二极管是首个被发明的量子电子器件。^[9]3年后，伊瓦尔·贾埃弗做实验证实在超导体里也会出现量子隧穿效应，因此展示出超导体所具有的能隙，其为BCS理论的重要预测之一。1962年，布赖恩·约瑟夫森发布理论预测，超电流可以穿越过在两个超导体之间由一薄层绝缘氧化物制成的位势障碍，约瑟夫森表示，这是因为成对电子（库柏对）的穿越动作。^[1]:4-5 由于江崎玲於奈与贾埃弗分别“发现半导体和超导体的隧道效应”，约瑟夫森“理论上预测出通过隧道势垒的超电流的性质，特别是那些通常被称为约瑟夫森效应的现象”，他们共同荣获1973年诺贝尔物理学奖。^[10]

扫描隧道显微镜是一种利用量子隧穿效应来探测物质表面结构的仪器。格尔德·宾宁及海因里希·罗雷尔于1981年在IBM的苏黎世实验室发明，两位发明者因此与恩斯特·鲁斯卡分享1986年诺贝尔物理学奖。^[11]

水分子隧穿效应（英语：quantum tunneling of water）是指水分子陷俘在绿柱石内时会隧穿于六种不同的旋转取向，这意味着每一个水分子会同时处于六种组态。2016年橡树岭国家实验室研究团队观测到水分子隧穿效应。^[12]

入门概念

微观粒子穿越过一个位势垒。粒子的能量在穿越前与穿越后维持不变，但量子幅会降低。

量子隧穿效应属于量子力学的研究领域，量子力学研究在量子尺度所发生的事件。设想一个运动中的粒子遭遇到一个位势垒，试图从位势垒的一边（区域 A）移动到另一边（区域 C），这可以被类比为一个圆球试图滚动过一座小山。量子力学与经典力学对于这问题给出不同的解答。经典力学预测，假若粒子所具有的能量低于位势垒的位势，则这粒子绝对无法从区域 A移动到区域 C。量子力学不同地预测，这粒子可以概率性地从区域 A穿越到区域 C。^[1]:9-10

能量-时间不确定性原理

初步看来，量子隧穿问题似乎是个佯谬，但是使用能量-时间不确定性原理可以合理解释这问题。假设粒子的原本能量为${\displaystyle E}$，位势垒的位势为${\displaystyle V}$，而${\displaystyle E<V}$，则粒子无法经典地从区域 A移动到区域 C。根据能量-时间不确定性原理，^[13]:73-75

${\displaystyle \Delta E\Delta t\approx {\hbar }/{2}}$；

其中，${\displaystyle \Delta E}$、${\displaystyle \Delta t}$分别为能量与时间的不确定性，${\displaystyle \hbar }$是约化普朗克常数。

尽管在经典力学里，总能量不能改变，否则，会违背能量守恒定律。然而，在量子力学里，假若时间的不确定性为${\displaystyle \Delta t}$，则能量的不确定性为${\displaystyle \Delta E\approx \hbar /2\Delta t}$。

现在，假设粒子暂时借得能量${\displaystyle \Delta E}$，而且${\displaystyle E+\Delta E>V}$，则粒子就可以从区域 A移动到区域 C，但是为了不违背能量-时间不确定性原理，粒子必须在时间${\displaystyle \Delta t\approx \hbar /2\Delta E}$内，还回能量${\displaystyle \Delta E}$，并且粒子必须在时间${\displaystyle \Delta t\approx \hbar /2\Delta E}$内从区域 A移动到区域 C，否则它仍旧不能从区域 A移动到区域 C。

注意到两点：

• 假若位势垒过宽与过高，则粒子借得足够能量在时间限制内从区域 A移动到区域 C是很困难的事件，这事件的概率会变得非常低，大多数粒子都会被反射回去。
• 按照上述解释，由于粒子的能量变得大于位势垒的位势，粒子不是穿越过位势垒，而是跳跃过位势垒。

德布罗意假说

假设用手紧握一个装有水的玻璃杯，则因为受抑全反射会使得指纹显露出来。在玻璃杯表面与皮肤的凹凸纹之间有空气间隙。假若间隙很浅薄，则光线会接触到皮肤的凸纹并且反射出皮肤颜色；否则假若间隙很深厚，则光线会衰变，因此无法接触到皮肤的凹纹，无法反射出皮肤颜色。^[14]

根据德布罗意假说，微观物质都具有波动性质，都会展示出像波动一般的物理性质。假若波动能够展示出隧穿行为，则微观粒子应该也可以展示出这种行为。例如，受抑全反射是一种波动隧穿行为，下面将详细描述相关细节。^[13]:75-76

假设光线从玻璃入射至空气，由于光线的传播速度在玻璃里小于在空气里，所以在两种不同介质的界面，会有一部分光线会被折射至空气，其余部分则会被反射回玻璃。但是，当入射角比临界角大时（光线远离法线的夹角），不会有任何光线被折射至空气，所有光线都会反射回玻璃，这现象称为全内反射。虽然没有任何光线传播进入空气，但是，仍旧会有一种波扰动出现在空气区域，这种波扰动称为隐失波，其振幅会随着与界面的垂直距离呈指数衰减。

假设在与第一块玻璃相离不远之处置放第二块玻璃，两块玻璃相互平行，在两块玻璃的中间是空气区域，现在缓慢地将第二块玻璃移向第一块玻璃，直到隐失波开始穿越到第二块玻璃，这时，光线会传播到第二块玻璃，两块玻璃相离越近，越多光线会传播到第二块玻璃，光线的这种隧穿行为称为受抑全反射。在现代光学里分束器的运作就是倚赖受抑全反射的机制，通过调整间隔距离，可以操控分束器所反射或透射的光线数量。其它种波动也可以展示出类似受抑全反射的隧穿行为。借着德布罗意假说，这种行为可以用来类比量子隧穿效应。

重要应用

恒星核聚变

主条目：核聚变

在恒星里发生的核聚变的关键机制是量子隧穿效应。恒星中心的温度大约为10⁷K，原子核的平均热动能大约为1 keV。倘若要实现核聚变，原子核必须具有足够能量来克服库仑位势垒，使得原子核与原子核之间的距离小于10^-15 m，这能量大约为1 MeV，足足约为原子核平均热动能的1000倍。因此，单独热动能并不能克服库仑位势垒来促成核聚变。尽管原子核的能量超小于库仑位势垒的位势，量子隧穿效应仍旧能够让原子核穿越库仑位势垒，从而促成核聚变。^[3]:第2节

在地球上，复杂的多细胞生命的演化有一个先决条件，即几十亿年长期稳定的太阳照射。在其它太阳照射的适居行星也可能需要这先决条件。到底是靠什么机制使得这么长时间的稳定太阳照射成为可能？在太阳内部，最主要的反应是质子-质子反应，其隧穿概率大约为10^-20，这给出迹象为什么太阳能够那么长时期地静燃烧氢原子（quiescent hydrogen burning）。然而，隧穿概率并不是反应概率（reaction probability），另外还有几种关系到反应概率的重要因素，例如，贝塔衰变的速率。隧穿概率使得反应概率极度地与温度有关，因此使得太阳内部的反应率变得很小，从而促成长时期地静燃烧氢原子，这时期长达几十亿年，因此可以让复杂的多细胞生命在地球进行演化。^[3]:第2节

放射性衰变

主条目：放射性衰变

放射性衰变是从不稳定的核素因为发射出辐射而变为其它种核素的过程，在这里，辐射可以是粒子或电磁辐射。这过程的实现倚赖量子隧穿机制。伽莫夫提出的α衰变机制是首次成功应用量子力学于核子现象的案例。^[6]:322-323

放射性衰变也是天体生物学的一个重要论题，因为放射性衰变能够长期产生能量在适居带以外的环境，其无法利用太阳照射来产生能量。例如，土卫二拥有活跃的地质，它很可能存在着生命，量子隧穿效在这里扮演了很重要的角色。长期放射性核素，铀-238、铀-235与钍-232等等，通过α衰变给出放射热，其能够融化土卫二内部的冰结构，从而促使潮汐热也能有效地产生作用，放射热与潮汐热共同使得这个小卫星拥有高度活耀的地质与水文。由此，人们认为，土卫二很可能隐藏着原始生命。^[3]:第4节

地球有些不被太阳照射的区域仍旧能够提供生物适居条件，α粒子隧穿机制在这里扮演重要角色，例如，在深海里，厌氧绿硫细菌利用地热光来进行不产氧光合作用，地热光是源自于高温海底热泉的热辐射，而地球的热通量大约有50%是源自于铀-238与钍-232，这意味着地热能的很大部分可以归因于α粒子隧穿机制。在太阳系里的各种天体的地表下面不被太阳照射的区域，由于α粒子隧穿机制提升温度，很可能会隐藏着海洋。在化学演化、前生命化学（英语：prebiotic chemistry）、地外生物学等等学术领域，这论题相当有意思。^[3]:第4节

星际云的天体化学

在星系之间，星际云的物质大多数是由氢气与氦气组成，其它最常见的元素有碳、氮、氧、镁、铁，大约为星际物质的0.1%。暗云与中性弥漫云代表较冷的星际云区域，温度大约在10K至100K之间，由于内含灰尘的密度很高，大约为10⁶原子每立方公分，电磁辐射无法传播进入内部区域，温度甚至可降低至30K。在冷星际云里，氢分子是丰度最高的分子，这揭示了一个长久未解的问题：由于气态合成法的效率很低，以及紫外线与宇宙线的破坏，不应该会测量到那么高丰度的氢分子。学者认为，氢原子被吸附在灰尘表面，在低温时，移动性应该很低，很不容易与其它氢原子会合，从而形成氢分子，然而，通过量子隧穿机制，氢原子可以在灰尘表面扩散，有较高的移动性，因此能够较容易地与另一个氢原子会合，从而形成氢分子。^[3]:第3节

在星际云里，水分子、一氧化碳、甲醛与甲醇的合成，都需要用到量子隧穿机制，其可以促进在灰尘颗粒各种表面反应（英语：Reactrions on surfaces）朝向重要前生命分子的合成。^[3]:第3节

量子生物学

在量子生物学里，量子隧穿效应是几个重要的不平凡量子效应之一。对于许多生化学的氧化还原反应，例如，光合作用、细胞呼吸作用等等，电子的量子隧穿效应是关键因素。在DNA的自发性点突变里，质子的量子隧穿效应是关键因素。^[3]:第5节

佩尔-奥洛夫·勒夫丁首先给出，在双螺旋里由互变异构化引起的自发性点突变理论。他认为，质子可能会隧穿透过在DNA碱基对内的氢键的位势垒，假设在质子隧穿之后，DNA又完成了克隆的动作，则这整个过程被称为自发性点突变。这过程意味着，质子的量子隧穿效应会影响DNA的主要功能，即基因信息的可靠储存。^{[15]:850[3]:第5节}

电子的量子隧穿机制是DNA能够被修复的关键要素。紫外线照射会引起DNA链形成多个嘧啶二聚体，使得DNA遭到损害，DNA转录与DNA克隆的功能被严重影响，甚至导致遗传密码被错读与突变。因紫外线照射产生反应，DNA链的相邻嘧啶被二聚在一起。黄素蛋白光裂合酶能够修补这种变样的DNA。通过电子传输，连结嘧啶的共价键会被分裂，这样，嘧啶二聚体得以变回先前的正常单体。在电子传输过程中，倚靠长距量子隧穿机制（最长距离约为3纳米），电子才可从黄素部分移动至二聚体部分。总结，黄素蛋白光裂合酶之能够修复被紫外线照射损害的DNA，完全是倚靠电子的长距量子隧穿机制。^{[3]:第5节[16]}

冷发射

主条目：半导体器件

冷发射又称为场致发射，即施加强劲外电场于金属可以促成电子被发射的现象。用量子隧穿机制可以解释这现象。从金属表面需要做功才能提取电子，因此，电子在金属内部的势能大于在金属外部。电子在金属内部的物理行为可以简单地用自由电子气体模型来描述，在金属内部，位势为${\displaystyle V(x)=0}$，在金属外部，位势为${\displaystyle V(x)=V_{0}}$。由于大部分电子的能量小于${\displaystyle V_{0}}$，移动至金属表面的电子会被反射回金属内部，因此无法逃逸离开金属。^[7][1]:488ff

假设朝着金属内部施加外电场${\displaystyle {\mathcal {E}}}$，在金属内部，位势变为${\displaystyle V(x)=0}$，在金属外部，位势变为${\displaystyle V(x)=V_{0}-e{\mathcal {E}}x}$。由于三角形位势垒的厚度有限，电子可以通过量子隧穿机制逃逸离该金属。对于这状况，薛定谔方程有精确解，使用半经典方法（WKB近似），也可找到近似解。电子能量在${\displaystyle 0}$与${\displaystyle V_{0}}$之间的平均透射系数${\displaystyle |{\overline {T}}|^{2}}$与电场的关系式为

${\displaystyle |{\overline {T}}|^{2}=D_{0}exp\left[-{\frac {{\mathcal {E}}_{0}}{\mathcal {E}}}\right]}$；

其中，${\displaystyle D_{0}}$与${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$都是正常数。

在材料学里，场致发射显微镜（英语：field emission microscope）被用来观测分子表面的结构与电子性质。^[17]:135-181

隧道结

主条目：隧道结 （Tunnel Junction）

隧道结的示意图：在导体A与B之间是绝缘体C，三者共同组成隧道结。

隧道结是由两个导体与夹在它们中间的薄绝缘体所组成。根据经典电磁学的定律，电流无法通过绝缘体。然而，根据量子力学的定律，电子可以从任意一个导体通过绝缘体移动到另一个导体，这动作的概率大于零。假设施加偏压，则会有电流从一个导体流动到另一个导体，而且，电流与偏压遵守线性欧姆定律。这意味着隧道结的功能就如同电阻一般，而且电阻的电阻率不会随时间而改变，电阻率与绝缘体厚度呈指数函数关系。通常，厚度大约为几个奈米。^[18]:287-289

假设两个导体被改为超导体，则称此隧道结为约瑟夫森结。库柏对载着超导电流借着量子隧穿效应流过绝缘体，这效应称为约瑟夫森效应。在量子线路方面，约瑟夫森接面有许多重要的应用，例如超导量子干涉仪（SQUIDs）、超导量子计算（英语：Superconducting quantum computing）以及快速单磁通量子（英语：Rapid single flux quantum）（RSFQ）数位电子设备等。

隧道二极管

蓝色实线、黑色虚线分别为隧道二极管、普通二极管的电流-偏压曲线图。

主条目：隧道二极管

二极管是一种具有特定电流方向的半导体器件；施加同样的电压差，顺方向的电流会比逆方向的电流大很多。在二极管的内部，P型半导体与N型半导体的接面区域被称为耗尽层；在这区域内，电荷载子如P型半导体的受主与N型半导体的施主已几乎被耗尽。耗尽层的物理行为主导了二极管的运作性质。假设P型半导体与N型半导体被高度掺杂，则耗尽层会变得非常狭窄，稍微施加顺向偏压，则电子可以很容易地从N型半导体的导带隧穿通过耗尽层进入P型半导体的价带，从而产生显著的电流量。这种器件称为隧道二极管。当N型半导体的导带能级与P型半导体的价带能级对齐时，电流量会达到最大值。这时，再增加顺向偏压会使得两个能级不再对齐，这导致器件随着顺向偏压的增加而变回为普通二极管。^[19]:356-35

如右图所示，在原点至点A之间，随着增加顺向偏压V，隧穿电流I也会增加。点A是最大电流量点。在点A与点B之间，随着增加顺向偏压，隧穿电流反而会递减，隧道二极管的物理行为好似具有负值电阻。在点B右边，可以忽略隧穿效应，隧道二极管的物理行为与普通二极管一般。^[2]:453由于随着偏压的改变，隧穿电流也会迅速改变，隧穿二极管可以用来制作高速器件，开关频率可达10⁹Hz，普通半导体二极管的运作频率远低于这频率。^[19]:164-165

扫描隧道显微镜

扫描隧道显微镜描绘金属表面特征的工作示意图。

主条目：扫描隧道显微镜

扫描隧道显微镜可以展示出金属的表面特征，分辨率为原子尺寸的数量级。扫描隧道显微镜的操作原理主要是量子隧穿与距离之间的关系。如右图所示，对于束缚在金属内部的电子而言，扫描隧道显微镜的探测针与金属表面之间的狭窄间隙扮演着位势垒的角色，阻碍电子逃逸离开金属表面，假设施加偏压于探测针与表面之间，则会造成电子因隧穿效应从表面穿越位势垒抵达探测针。隧穿电子所形成的隧穿电流能够敏锐地反应出间隙距离的些微变化；稍微改变间隙距离0.5nm，就会改变隧穿电流10⁴倍。因此，通过测量隧穿电流，可以估算探测针与表面之间的间隙距离。利用压电反馈系统来改变探测针的位置，从而控制隧穿电流，维持隧穿电流与间隙距离都不改变，这样，探测针的轨迹描绘出金属样品的表面特征。^[2]:257

超光速隧穿

多年来，对于粒子穿越位势垒所需的间隔时间这论题，物理学者们争执不休。简略计算可以获得超光速隧穿这理论结果，而近期一些实验似乎也确切观察到量子隧穿是一种超光速行为。但这不意味着信息传播速度也可达超光速，因此并没有违背狭义相对论的白纸黑字。^[20]

理论分析量子隧穿时间是一门很复杂的学问。在量子力学里，时间不是算符，而是参数，因此导致在对于测量两个量子事件之间的间隔时间，能量-时间不确定性原理给出的意义不很明确。简略地估算隧穿间隔时间${\displaystyle \Delta T}$，假设一个能量为${\displaystyle E}$的粒子遇到位势垒${\displaystyle V}$，而且${\displaystyle V>E}$，则这粒子必须借用能量${\displaystyle \Delta E=V-E}$才能够拥有足够能量穿越位势垒。根据能量－时间不确定性原理，${\displaystyle \Delta E\Delta T\approx \hbar }$，所以粒子借用能量${\displaystyle \Delta E}$的间隔时间${\displaystyle \Delta T}$最多只能为${\displaystyle \hbar /\Delta E}$。假设位势垒的宽度为${\displaystyle W}$，则粒子的隧穿速度大约为${\displaystyle W\Delta E/\hbar }$。注意到以下三点：^[20]

• 这表达式的数值没有上限，宽度越大，隧穿速度越大，甚至超过光速。
• 随着增高位势垒的高度${\displaystyle V}$，隧穿间隔时间${\displaystyle \Delta T}$反而会减少；换句话说，阻碍的位势越强劲，粒子的隧穿速度越快。
• 由于粒子借用能量的间隔时间${\displaystyle \Delta T}$与所借用的能量${\displaystyle \Delta E}$有关，与位势垒的宽度无关，所以，不论位势垒的宽度有多宽，粒子必须在间隔时间${\displaystyle \Delta T}$内穿越过位势垒，否则，粒子无法穿越过位势垒，量子隧穿效应不会发生。

上述分析相当简略，然而当今一些更为详细精致的理论仍旧无法完全逃避推导出超光速隧穿这结果。量子隧穿是量子力学里最奥妙的现象之一，为了要找到正确解答，必须进行更多严格研究。^[20][5]

数学导引

对于一个不规则位势垒的量子隧穿效应。往左与往右的量子波的波幅与方向都分别表示于图内。入射波、反射波、透射波的波幅分别是${\displaystyle A_{r}\,\!}$、${\displaystyle A_{l}\,\!}$、和${\displaystyle C_{r}\,\!}$。

思考一个入射波${\displaystyle A_{r}e^{ikx}\,\!}$，遇到处于${\displaystyle x=0\,\!}$与${\displaystyle x=a\,\!}$之间的位势${\displaystyle V(x)\,\!}$。入射波的一部分会反射回去，成为反射波${\displaystyle A_{l}e^{-ikx}\,\!}$；另一部分则会穿透过位势${\displaystyle V(x)\,\!}$，成为透射波${\displaystyle C_{r}e^{ikx}\,\!}$。那么，在位势垒的左边与右边，波函数分别是^[6]:320-325

${\displaystyle \psi _{A}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx}\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{C}(x)=C_{r}e^{ikx}\,\!}$。

而在位势垒的内部，根据WKB近似，波函数大约为

${\displaystyle \psi _{B}(x)\approx {\frac {B_{r}}{\sqrt {|p|}}}e^{-\int _{0}^{x}|p(x')|dx'/\hbar }+{\frac {B_{l}}{\sqrt {|p|}}}e^{\int _{0}^{x}|p(x')|dx'/\hbar }\,\!}$；

其中，${\displaystyle p(x)={\sqrt {2m(E-V(x))}}\,\!}$是动量。

通过边界条件的匹配，可以设定常数${\displaystyle A_{l}\,\!}$，${\displaystyle B_{r}\,\!}$，${\displaystyle B_{l}\,\!}$，${\displaystyle C_{r}\,\!}$对于${\displaystyle A_{r}\,\!}$的比例。

一个粒子穿透过位势垒的概率等于透射系数，定义为

${\displaystyle T\equiv {\frac {|C_{r}|^{2}}{|A_{r}|^{2}}}\,\!}$。

假若位势垒又宽又强，那么，指数递增项目必定很小，可以忽略。所以，

${\displaystyle \psi _{B}(x)\approx {\frac {B_{r}}{\sqrt {|p|}}}e^{-\int _{0}^{x}|p(x')|dx'/\hbar }\,\!}$。

毛估${\displaystyle C_{r}\,\!}$对于${\displaystyle A_{r}\,\!}$的比例为

${\displaystyle {\frac {|C_{r}|}{|A_{r}|}}\approx e^{-\gamma }\,\!}$；

其中，${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{a}|p(x')|dx'/\hbar \,\!}$。

所以，粒子穿透过位势垒的概率为

${\displaystyle T=e^{-2\gamma }\,\!}$。

请注意，取所有物理参数都超大于普朗克常数的经典极限，表达为${\displaystyle \hbar \rightarrow 0\,\!}$。那么，透射系数正确地变为零，也就是说，粒子无法穿透过位势垒。

参阅

• 超导量子干涉仪

参考文献

1. Razavy, Mohsen. Quantum Theory of Tunneling. World Scientific. 2003. ISBN 9812564888.
2. Paul A. Tipler; Ralph Llewellyn. Modern Physics. W. H. Freeman. 2003. ISBN 978-0-7167-4345-3.
3. Trixler, F. Quantum tunnelling to the origin and evolution of life. (PDF). Current Organic Chemistry. 2013, 17 (16): 1758–1770 [2017-04-15]. PMC 3768233 . PMID 24039543. doi:10.2174/13852728113179990083. （原始内容存档 (PDF)于2019-07-01）.
4. Merzbacher, Eugene. The Early History of Quantum Tunneling. Physics Today. 2002, 55 (8): 44. doi:10.1063/1.1510281.
5. Chiao, Raymond. Tunneling times and superluminality: a tutorial. AIP Conference Proceedings 461 (1): 3–13. March 1999 [2017-05-24]. doi:10.1063/1.57888. （原始内容存档于2021-05-07）.
6. Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 978-0-13-805326-0.
7. Esaki, Leo. Long Journey Into Tunneling. Nobelprize.org. Nobel Media. [2017-04-11]. （原始内容存档于2017-08-25）.
8. Gurney, R. W.; Condon, E. U. Wave Mechanics and Radioactive Disintegration. Nature. 1928, 122 (3073): 439. Bibcode:1928Natur.122..439G. doi:10.1038/122439a0.
9. Leo Esaki - Biographical. Nobelprize.org. Nobel Media. [2017-04-06]. （原始内容存档于2017-09-15）.
10. The Nobel Prize in Physics 1973. Nobelprize.org. Nobel Media. [2017-04-06]. （原始内容存档于2018-06-18）.
11. The Nobel Prize in Physics 1986. Nobelprize.org. Nobel Media. [2017-04-11]. （原始内容存档于2015-05-15）.
12. Kolesnikov et al. Quantum Tunneling of Water in Beryl: A New State of the Water Molecule. Physical Review Letters. 22 April 2016 [23 April 2016]. doi:10.1103/PhysRevLett.116.167802. （原始内容存档于2021-05-12）.
13. Anthony J. G. Hey; Patrick Walters. The New Quantum Universe. Cambridge University Press. 23 October 2003: 73–. ISBN 978-0-521-56457-1.
14. Ehrlich, Robert. Why toast lands jelly-side down: zen and the art of physics demonstrations. Princeton, New Jersey, USA: Princeton University Press. 1997: 182 [9 February 2012]. ISBN 0-691-02891-5.
15. Matta, Cherif F. Quantum Biochemistry: Electronic Structure and Biological Activity. Weinheim: Wiley-VCH. 2014. ISBN 978-3-527-62922-0.
16. Sinha, Rajeshwar; Hader, Donat. UV-induced DNA damage and repair: a review. Photochemical & Photobiological Sciences. 2002, 1 (4): 225–236. doi:10.1039/B201230H.
17. Walter G. Berl. Physical Methods in Chemical Analysis. Elsevier. 22 October 2013. ISBN 978-1-4832-7440-9.
18. Kittel, Charles, Introduction to Solid State Physics 8th, USA: John Wiley & Sons, Inc., 2005, ISBN 978-0-471-41526-8
19. Krane, Kenneth. Modern Physics. New York: John Wiley and Sons. 1983. ISBN 0-471-07963-4.
20. Davies, P. C. W. Quantum tunneling time. American Journal of Physics. January 2005, 73 (1): 23–27 [2017-05-24]. doi:10.1119/1.1810153. （原始内容存档于2021-04-26）.