从鼓 的音色 （即其泛音列），利用数学理论，来获取鼓膜形状的信息，谓之听出鼓的形状 。美国数学月刊 于1966年刊登了马克·卡克 利普曼·伯斯 赫尔曼·外尔 。
这两块理想鼓膜发出的声音一样，但其形状不同。 所谓声音一样，意思是其具有相同的特征频率 ，因此敲击发出的音色 将具有相同的泛音。此例子由下文的戈登、韦伯，以及沃尔珀特给出。留意两个多边形具有相同的面积和周长 卡克1966年的论文使此问题广为人知。他因为该论文于1967年获莱斯特·福特奖 肖夫内奖 [ 1]
鼓膜可以振动的频率取决于其形状。假若已知形状，则可用亥姆霍兹方程 求出频率。该些频率为空间（鼓膜）上的拉普拉斯算子 的特征值 。问题是单由该些频率是否能确定鼓膜的形状。例如，没有其他形状的鼓膜与正方形鼓膜有相同的泛音列。卡克未能得知是否存在两个不同的形状，其具有相同的泛音列。结果，在1992年，戈登、韦伯，以及沃尔珀特证得频率不能完全决定形状，解决了原来的问题。
更正式地，鼓视为边界钳紧的弹性膜，数学上表示成平面 上的一个区域 D . 设 λn 狄利克雷特征值 拉普拉斯算子 的狄利克雷问题
{
Δ
u
+
λ
u
=
0
u
|
∂
D
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\\u|_{\partial D}=0\end{cases}}}
的特征值。两个区域若具有完全相同的特征根列，则称其等谱 同音 （英语：homophonic ）。称为“同音”的原因是，该些狄利克雷特征值恰好是鼓所能发出的基调：其为钳紧边界的波动方程 的解的傅立叶系数 。
于是，可以将问题转述成：只知 λ n D 的何种性质？又或，更具体地，是否有两个不同形状但等谱的区域？
也可以从数个不同方向推广，提出同样的问题。其一，可将平面换成高维或黎曼流形 ，考虑其上的拉氏算子的狄利克雷问题。其二，可将拉氏算子换成其他椭圆算子 ，例如柯西－黎曼算子 或狄拉克算子 。其三，可考虑狄利克雷条件以外的其他边界条件，例如诺伊曼边界条件 。相关课题属于谱几何
由一个连续参数给出的一族等谱的鼓 问题提出后，约翰·米尔诺 很快观察到，恩斯特·维特 环面 ，其具有相同的特征值。然而，原来的二维问题要待1992年才得到解决。当时，卡罗林·戈登 大卫·韦伯 (数学家) 砂田利一 凹多边形 。其特征值相等的证明用到拉氏算子的对称性。彼得·布塞尔
另一方面，史提夫·泽尔迪奇 解析 的平面凸区域 ，则会得到肯定的答案。仍未知道是否存在两个非凸的解析区域具有同样的特征值，但已知的是，与某个给定区域等谱的所有区域组成的集合，在 C∞ 拓扑中是紧集 。又例如，由郑氏特征值比较定理 spectrally rigid , 即若有流形与之等谱，则其形状亦必与之相同）。此外，利用奥斯古德（Osgood）、菲利浦斯（Phillips）和萨纳克 （Sarnak）的成果，可以证明固定亏格 的黎曼面 组成的模空间 中，没有过任何点的连续等谱流，且该模空间在弗雷歇－施瓦茨拓扑（英语：Fréchet–Schwartz topology ）下为紧。
主条目：外尔定律
外尔公式断言，可藉 λn A 。定义 N (R ) 为小于 R 的特征值的数目，则可得
A
=
ω
d
−
1
(
2
π
)
d
lim
R
→
∞
N
(
R
)
R
d
/
2
,
{\displaystyle A=\omega _{d}^{-1}(2\pi )^{d}\lim _{R\to \infty }{\frac {N(R)}{R^{d/2}}},\,}
其中 d 是维数，
ω
d
{\displaystyle \omega _{d}}
d -维单位球的体积。外尔猜想迫近式的第二项将给出 D 的周长，即有
N
(
R
)
=
(
2
π
)
−
d
ω
d
A
R
d
/
2
+
1
4
(
2
π
)
−
d
+
1
ω
d
−
1
L
R
(
d
−
1
)
/
2
+
o
(
R
(
d
−
1
)
/
2
)
,
{\displaystyle \,N(R)=(2\pi )^{-d}\omega _{d}AR^{d/2}+{\frac {1}{4}}(2\pi )^{-d+1}\omega _{d-1}LR^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}),\,}
其中 L 表示周长（高维情况下则为表面积）。维克托·伊夫里 测地线 （例如球面 则具有如此一族测地线）。
对于边界非光滑的情况，迈克尔·贝里 于 1979 年猜想，修正值的量级应为
R
D
/
2
,
{\displaystyle R^{D/2},\,}
其中 D 为边界的豪斯多夫维数 。宝乐沙 (法语：J. Brossard ）和卡莫纳（法语：R. A. Carmona ）推翻了此猜想，但提出应将豪斯多夫维数改成顶盒维数 （即上计盒维数）。在平面上，边界维数为 1 的情况已获证（1993 年），但大多数高维情况被否证（1996 年），两个结论都是拉皮迪 波默兰斯
存档副本 . [2020-10-04 ] . （原始内容存档 于2021-05-06）.
Abikoff, William, Remembering Lipman Bers (PDF) , Notices of the AMS , January 1995, 42 (1): 8–18 [2020-10-04 ] , （原始内容存档 (PDF) 于2020-02-07） Brossard, Jean; Carmona, René. Can one hear the dimension of a fractal? . Comm. Math. Phys. 1986, 104 (1): 103–122. Bibcode:1986CMaPh.104..103B doi:10.1007/BF01210795 Buser, Peter ; Conway, John ; Doyle, Peter; Semmler, Klaus-Dieter, Some planar isospectral domains, International Mathematics Research Notices, 1994, 9 : 391ffChapman, S.J. Drums that sound the same. American Mathematical Monthly . 1995, 102 (February): 124–138. JSTOR 2975346 doi:10.2307/2975346 Giraud, Olivier; Thas, Koen . Hearing shapes of drums – mathematical and physical aspects of isospectrality. Reviews of Modern Physics. 2010, 82 (3): 2213–2255. Bibcode:2010RvMP...82.2213G arXiv:1101.1239 doi:10.1103/RevModPhys.82.2213 Gordon, Carolyn ; Webb, David , You can't hear the shape of a drum, American Scientist : 46–55Gordon, C. ; Webb, D. ; Wolpert, S., Isospectral plane domains and surfaces via Riemannian orbifolds, Inventiones Mathematicae, 1992, 110 (1): 1–22, Bibcode:1992InMat.110....1G doi:10.1007/BF01231320 Ivrii, V. Ja., The second term of the spectral asymptotics for a Laplace–Beltrami operator on manifolds with boundary, Funktsional. Anal. I Prilozhen, 1980, 14 (2): 25–34, doi:10.1007/BF01086550 (In Russian ).Kac, Mark . Can One Hear the Shape of a Drum? (PDF) . American Mathematical Monthly . April 1966, 73 (4, part 2): 1–23 [2020-10-04 ] . JSTOR 2313748 doi:10.2307/2313748 存档 (PDF) 于2021-03-02）.Lapidus, Michel L., Can one hear the shape of a fractal drum? Partial resolution of the Weyl–Berry conjecture, Geometric Analysis and Computer Graphics (Berkeley, CA, 1988), Math. Sci. Res. Inst. Publ. (New York: Springer), 1991, 17 (17): 119–126, ISBN 978-1-4613-9713-7doi:10.1007/978-1-4613-9711-3_13 Lapidus, Michel L., Vibrations of fractal drums, the Riemann hypothesis , waves in fractal media, and the Weyl–Berry conjecture, B. D. Sleeman; R. J. Jarvis (编), Ordinary and Partial Differential Equations, Vol IV, Proc. Twelfth Internat. Conf. (Dundee, Scotland,UK, June 1992), Pitman Research Notes in Math. Series 289 , London: Longman and Technical: 126–209, 1993 Lapidus, M. L.; van Frankenhuysen, M., Fractal Geometry and Number Theory: Complex dimensions of fractal strings and zeros of zeta functions, Boston: Birkhauser, 2000 . (Revised and enlarged second edition to appear in 2005.)Lapidus, Michel L.; Pomerance, Carl, The Riemann zeta-function and the one-dimensional Weyl-Berry conjecture for fractal drums , Proc. London Math. Soc., Series 3, 1993, 66 (1): 41–69, doi:10.1112/plms/s3-66.1.41 Lapidus, Michel L.; Pomerance, Carl, Counterexamples to the modified Weyl–Berry conjecture on fractal drums, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1996, 119 (1): 167–178, Bibcode:1996MPCPS.119..167L doi:10.1017/S0305004100074053 Milnor, John , Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 1964, 51 (4): 542ff, Bibcode:1964PNAS...51..542M PMC 300113 PMID 16591156 doi:10.1073/pnas.51.4.542 Sunada, T. , Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. of Math., 2, 1985, 121 (1): 169–186, JSTOR 1971195 doi:10.2307/1971195 Zelditch, S., Spectral determination of analytic bi-axisymmetric plane domains, Geometric and Functional Analysis, 2000, 10 (3): 628–677, arXiv:math/9901005 doi:10.1007/PL00001633
Isospectral Drums （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） （由特拉华大学的 Toby Driscoll 所写）Some planar isospectral domains （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） by Peter Buser, John Horton Conway , Peter Doyle, and Klaus-Dieter SemmlerDrums That Sound Alike by Ivars Peterson at the Mathematical Association of America web site埃里克·韦斯坦因 . Isospectral Manifolds . MathWorld .Benguria, Rafael D., Dirichlet eigenvalue , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
