测地线

测地线（英语：Geodesic）又称大地线或短程线，数学上可视作直线在弯曲空间中的推广；在有度规定义存在之时，测地线可以定义为空间中两点的局域最短路径。测地线（英语：geodesic）的名字来自对于地球尺寸与形状的大地测量学（英语：geodesy）。

3条测地线构成的球面三角形。在球面上，测地线是大圆。

三维空间中的曲面

在大地线上，各点的主曲率方向均与该点上曲面法线相合。它在圆球面上为大圆弧，在平面上就是直线。在大地测量中，通常用大地线来代替法截线，作为研究和计算椭球面上各种问题。测地线是在一个曲面上，每一点处测地曲率均为零的曲线。

相关定理及推论

曲面上非直线的曲线是测地线的充分必要条件是除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法线。

如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，那么它也是另一个曲面的测地线。

过曲面上任一点，给定一个曲面的切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。

在适当的小范围内联结任意两点的测地线是最短线，所以测地线又称为短程线。

微分几何的测地线

在一个黎曼流形${\displaystyle M}$上，一条曲线${\displaystyle \gamma :I\to M}$若符合常微分方程

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

就称之为测地线。其中${\displaystyle \nabla }$是${\displaystyle M}$上的列维-奇维塔联络。方程左边为曲线在流形上的加速度向量，所以方程是说测地线是在流形上加速度为零的曲线，也因此测地线必定是等速曲线。

以上方程用局部座标表示为

${\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0}$

其中${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$是${\displaystyle M}$的黎曼度量的克里斯托费尔符号。

唯一性及存在性

给定流形上一点${\displaystyle p}$及点上一个非零的切向量${\displaystyle v\in T_{p}M}$，因测地线方程是二阶常微分方程，柯西－利普希茨定理指出存在区间${\displaystyle (-\epsilon ,\epsilon )}$，使得方程在此区间上存在唯一解

${\displaystyle \gamma :(-\epsilon ,\epsilon )\to M}$

满足初值条件${\displaystyle \gamma (0)=p}$,${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=v}$。但因为方程是非线性的，故未必在实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$上存在解。

从上述方程解的唯一性，可知若两条测地线经过同一点，且在此点上有相同的切向量，则这两条测地线是同一条测地线中的两部分。

设${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$是一条测地线，${\displaystyle -\infty <a<0<b<\infty }$。如果对起点${\displaystyle \gamma (0)}$及起点的切向量${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$改变得足够细微，则存在新的测地线符合新的初值条件，且仍然定义在${\displaystyle [a,b]}$上。这个结果用严格语言叙述为：

给定测地线${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$。在切丛${\displaystyle TM}$中存在${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$的一个邻域${\displaystyle U}$，使得对任何${\displaystyle v\in U}$，都存在测地线${\displaystyle \gamma _{v}:[a,b]\to M}$满足初值条件${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{v}(0)=v}$。

从这结果可以得出，如果${\displaystyle \gamma }$是定义在有界开区间${\displaystyle I}$上的测地线，对它的起点和此点上的切向量改变得足够细微的话，则存在一条新的测地线满足新的初值条件，并且定义在接近整条${\displaystyle I}$上。^[1]

如果对于任意初始条件${\displaystyle \gamma (0)=p}$,${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=v}$都存在一条定义在整条实数线上的测地线${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$，则称${\displaystyle M}$是测地完备的。霍普夫－里诺定理指出，若${\displaystyle M}$是一个完备的度量空间，则${\displaystyle M}$是测地完备的。（${\displaystyle M}$上两点间的度量，是连接此两点的所有曲线的长度的最大下界。）

局部最短性

在黎曼流形${\displaystyle M}$上连接两点之间的等速曲线，若其长度等于两点间的距离，即这曲线是两点间最短的曲线，那么这曲线必定是测地线。然而，连接两点间的测地线未必最短。比如在单位球面上，一条长度大于${\displaystyle \pi }$的测地线，不是连接这条线的两端点间的最短曲线。因为球面上的测地线都是大圆的弧，若测地线长度大于${\displaystyle \pi }$，那么测地线所在大圆上的另一条弧，其长度会小于${\displaystyle \pi }$，是连接这两点的最短测地线。

连接两点间最短测地线，也未必唯一。比如单位球面上两个对径点（即球面和一条直径的两个交点）之间，有无数条最短测地线相连。然而，流形上任何一点都存在一个邻域，使得该点和邻域上其他点之间，都有唯一的最短测地线相连（不计测地线的速度）。因此流形上任何测地线都是局部最短的。

对流形上一点${\displaystyle p}$，一条从${\displaystyle p}$出发的单位速的测地线${\displaystyle \gamma (t)}$，考虑所有的${\displaystyle t\geq 0}$使得${\displaystyle d(p,\gamma (t))=t}$，即是说${\displaystyle \gamma ([0,t])}$是一条最短测地线。这集合可以是${\displaystyle [0,t_{0}]}$或${\displaystyle [0,\infty )}$。若是前者，称${\displaystyle \gamma (t_{0})}$是${\displaystyle p}$沿着${\displaystyle \gamma }$的割点，那么对所有${\displaystyle t<t_{0}}$,${\displaystyle \gamma ([0,t])}$是从${\displaystyle p}$点到${\displaystyle \gamma (t)}$的唯一最短测地线；若是后者，则对所有${\displaystyle t\geq 0}$,${\displaystyle \gamma ([0,t])}$都是${\displaystyle p}$点到${\displaystyle \gamma (t)}$的唯一最短测地线。${\displaystyle p}$沿着全部从${\displaystyle p}$出发的测地线的割点组成的集合，称为${\displaystyle p}$的割迹${\displaystyle C_{p}(M)}$。

度量几何的测地线

一般的度量空间${\displaystyle X}$中，测地线${\displaystyle \gamma }$是从区间${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$的映射，使得对任何${\displaystyle t_{0}\in I}$，都存在区间${\displaystyle J\subset I}$，使得${\displaystyle J}$包含${\displaystyle t_{0}}$在${\displaystyle I}$中一个开邻域，并且对任何${\displaystyle t_{1},t_{2}\in J}$有

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|}$

换言之，${\displaystyle \gamma (J)}$是连接其上任何两点的一条最短路线。^[2]

如果一个度量空间任何两点都有测地线相连，称为测地度量空间。

度量空间上的测地线的性质，和微分几何有些不同：

两条测地线即使有部分线段重合，却未必属于同一条测地线。例如在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上定义度量（曼哈顿距离）

${\displaystyle d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|}$

设${\displaystyle \gamma _{1}}$是从（0,0）到（1,0）再到（1,1）的两条线段所组成，而${\displaystyle \gamma _{2}}$是从（0,0）到（2,0）的线段。这两条都是测地线，且在（0,0）到（1,0）一段重合，但明显不属同一条测地线，因为这两条线过了点（1,0）之后就分开。

一个测地度量空间中，在一点上未必存在一个邻域，使得该点其邻域其他点都有唯一的测地线。在上例的度量空间中，两点间如果两个座标都不同，则有无限多条测地线连接两点。例如从（0,0）到（2,1），以下都是连接这两点的最短测地线：任取一数${\displaystyle t_{0}\in [0,2]}$，

${\displaystyle \gamma _{t_{0}}(t)={\begin{cases}(t,0)&t\leq t_{0}\\(t_{0},t-t_{0})&t_{0}\leq t\leq t_{0}+1\\(t-1,1)&t_{0}+1\leq t\leq 3\end{cases}}}$

就是先向右走到${\displaystyle (t_{0},0)}$，再向上走到${\displaystyle (t_{0},1)}$，再向右走到（2,1）。在任何一点的任何邻域中，和该点两个座标都不同的点有无数个，所以从该点到这些点之间，最短测地线都不是唯一。

参考

1. Petersen, Peter (2006), Riemannian geometry, Graduate Texts in Mathematics, 171 (2nd ed.), Berlin, New York.
2. Burago, Dmitri; Yuri Burago, and Sergei Ivanov (2001), A Course in Metric Geometry, American Mathematical Society.