恰萨尔十四面体

恰萨尔十四面体是一种可以对应到拓扑环面的非凸多面体，由阿科斯·恰萨尔（英语：Ákos Császár）于1949年发现。^[1]这个多面体中间有一个孔洞，由14个不等边三角形面组成。特别地，这个多面体不存在对角线，也就是说任两个顶点之间所形成的线段都位于其表面边界上，同时，其也对应到七的顶点的完全图。^[2]:139-143

恰萨尔十四面体

类别	环形多面体（英语：Toroidal_polyhedron）
对偶多面体	希洛西七面体
性质
面	14
边	21
顶点	7
欧拉特征数	F=14, E=21, V=7 （χ=0）
亏格	1
组成与布局
面的种类	2个等边三角形 2个等腰三角形 10个钝角三角形
面的布局 （英语：Face configuration）	3.3.3.3.3.3
对称性
对称群	C1, [ ]+, (11)
特性
非凸
图像
希洛西七面体 （对偶多面体） （展开图）
查 论 编

性质

动画展示了恰萨尔十四面体结构以及展开为展开图的过程

恰萨尔十四面体的正交投影图。 在其SVG图像中可用鼠标转动以便观察整个模型

恰萨尔十四面体由14个面、21条边和7个顶点组成。在这七个顶点中，每个顶点都是6个三角形的公共顶点，其可以分成3组和一个单独的顶点，三组两两相等，与其对偶多面体——希洛西七面体的面对应^[3]。在其14个面中，有2个等边三角形、2个等腰三角形和10个钝角三角形。^[3]

完全图

恰萨尔十四面体是一种不存在对角线的流形多面体结构。^[1]也就是说，对恰萨尔十四面体的所有顶点而言，任意两个顶点间皆有一条边连接，因此这个多面体不存在任何不在边界上且连接两个顶点的线段。这种性质目前已知仅有正四面体和恰萨尔十四面体拥有。这种性质在图论中称为完全图，也就是说恰萨尔十四面体可以对应到七个顶点的完全图。^[4][5]

若一个在一个有h个孔洞的环面构建一个边界包含v个顶点的多面体，且所有顶点中任两个顶点间都有边相连，则其部分的欧拉特征数会具有以下关系：^[6] $${\displaystyle h={\frac {(v-3)(v-4)}{12}}.}$$ 对于零个孔、四个顶点（h=0、v=4）的四面体和1个孔、7个顶点（h=1、v=7）的恰萨尔十四面体都满足这个方程。下一个可能的整数解是6个孔、12个顶点（h=6、v=12）具有44个面和66个条边的多面体。然而目前并不知道是否存在实体的多面体满足这个特性，而非仅能以抽象多面体的方式存在。更无法确定这样的多面体是否能在更高亏格的环面下存在。^[7]更一般地，当v除以12余0、3、4或7时，上述等式给出的h值皆为整数。^[8]

顶点坐标

恰萨尔十四面体的最短边长为${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {1238}}{6}}\approx 5.8642}$单位长，且几何中心位于原点时，此时7顶点的坐标分别为：^[9][10]

${\displaystyle \left(\pm 12,\,0,\,-6{\sqrt {2}}\right)}$、${\displaystyle \left(0,\,\pm 12,\,6{\sqrt {2}}\right)}$、${\displaystyle \left(-4,\,-3,\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}$、${\displaystyle \left(4,\,3,\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}$、${\displaystyle \left(0,\,0,\,{\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}\right)}$。

其中，有正负号者代表两个顶点。在这样的顶点配置下，恰萨尔十四面体21条边中共有8个不同的边长，分别为：${\displaystyle {\frac {\sqrt {1238}}{6}}}$（两条边）、10、${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {70}}}{2}}}$（四条边）、${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {374}}}{3}}}$（两条边）、${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {662}}}{3}}}$（两条边）、${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {134}}}{2}}}$（两条边）、${\displaystyle {\frac {\sqrt {1938}}{2}}}$（两条边）、24（六条边）。^[3]

体积与表面积

若一恰萨尔十四面体最短边长为单位长，则其体积约为8.50517立方单位、表面积${\displaystyle A}$为：^[11]

${\displaystyle A={\frac {6{\sqrt {3}}+6{\sqrt {38}}+2{\sqrt {101}}+3{\sqrt {602}}+{\sqrt {713}}+{\sqrt {755}}+3{\sqrt {878}}}{6}}\approx 47.3597}$平方单位

用途

恰萨尔十四面体对应的图和其对偶图可以用来查找斯坦纳三元系统（Steiner triple systems）^[12][13]。

参见

• 希洛西七面体

参考文献

1. Császár, A., A polyhedron without diagonals (PDF), Acta Sci. Math. Szeged, 1949, 13: 140–142 [2021-09-08], 原始内容存档于2017-09-18.
2. Gardner, Martin, Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, W. H. Freeman and Company, 1988, ISBN 0-7167-1924-X
3. Regular Triangular Toroidal Solids: Császár Polyhedron (version 4). dmccooey.com. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-09-08）.
4. Alexander Bogomolny. Császár Polyhedron. Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. [2021-09-08]. （原始内容存档于2021-08-14）.
5. Weisstein, Eric W. (编). Császár Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
6. Martin Gardner. MATHEMATICAL GAMES. Scientific American (Scientific American, a division of Nature America, Inc.). 1975, 232 (5): 102–108 [2021-09-08]. ISSN 0036-8733. （原始内容存档于2021-09-08）.ISSN 1946-7087.
7. Ziegler, Günter M., Polyhedral Surfaces of High Genus, Bobenko, A. I.; Schröder, P.; Sullivan, J. M.; Ziegler, G. M. (编), Discrete Differential Geometry, Oberwolfach Seminars 38, Springer-Verlag: 191–213, 2008, ISBN 978-3-7643-8620-7, arXiv:math.MG/0412093 , doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_10
8. Lutz, Frank H., Császár's Torus, Electronic Geometry Models, 2001: 2001.02.069 [2021-09-08], （原始内容存档于2022-01-19）
9. L. Szilassi. On Three Classes of Regular Toroids (PDF). Symmetry: Culture and Science (Department of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering, Slovak University of Technology in Bratislava). 2000, 11 (1–4): 317–335 [2021-09-08]. （原始内容存档 (PDF)于2016-06-09）.
10. Data of Császár Polyhedron (version 4). dmccooey.com. [2021-09-08]. （原始内容存档于2021-09-08）.
11. Wolfram, Stephen. "Császár Polyhedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
12. Weisstein, Eric W. (编). Steiner Triple System. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
13. Gardner, Martin. On the Remarkable Császár Polyhedron and Its Applications in Problem Solving,. Scientific American (SCI AMERICAN INC 415 MADISON AVE, NEW YORK, NY 10017). 1975, 232 (5): 102–107.