恰萨尔十四面体 是一种可以对应到拓扑 环面 的非凸多面体，由阿科斯·恰萨尔 [ 1] 不等边三角形 面 组成。特别地，这个多面体不存在对角线，也就是说任两个顶点 之间所形成的线段都位于其表面边界上，同时，其也对应到七的顶点的完全图 。[ 2] :139-143
Quick Facts 类别, 对偶多面体 ...
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动画展示了恰萨尔十四面体结构以及展开为展开图 的过程 恰萨尔十四面体的正交投影图。 在其SVG图像中 可用鼠标转动以便观察整个模型 恰萨尔十四面体由14个面 、21条边 和7个顶点 组成。在这七个顶点中，每个顶点都是6个三角形 的公共顶点，其可以分成3组和一个单独的顶点，三组两两相等，与其对偶多面体 ——希洛西七面体 的面对应[ 3] [ 3]
恰萨尔十四面体是一种不存在对角线的流形 多面体结构。[ 1] 正四面体 和恰萨尔十四面体拥有。这种性质在图论中称为完全图，也就是说恰萨尔十四面体可以对应到七个顶点的完全图 。[ 4] [ 5]
若一个在一个有h个孔洞的环面构建一个边界包含v个顶点 的多面体，且所有顶点中任两个顶点间都有边相连，则其部分的欧拉特征数 会具有以下关系：[ 6]
h
=
(
v
−
3
)
(
v
−
4
)
12
.
{\displaystyle h={\frac {(v-3)(v-4)}{12}}.}
四面体 和1个孔、7个顶点（h=1、v=7）的恰萨尔十四面体都满足这个方程。下一个可能的整数解是6个孔、12个顶点（h=6、v=12）具有44个面和66个条边的多面体。然而目前并不知道是否存在实体的多面体满足这个特性，而非仅能以抽象多面体的方式存在。更无法确定这样的多面体是否能在更高亏格 的环面下存在。[ 7] [ 8]
恰萨尔十四面体的最短边长为
1238
6
≈
5.8642
{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {1238}}{6}}\approx 5.8642}
几何中心 位于原点 时，此时7顶点的座标分别为：[ 9] [ 10]
(
±
12
,
0
,
−
6
2
)
{\displaystyle \left(\pm 12,\,0,\,-6{\sqrt {2}}\right)}
(
0
,
±
12
,
6
2
)
{\displaystyle \left(0,\,\pm 12,\,6{\sqrt {2}}\right)}
(
−
4
,
−
3
,
2
2
)
{\displaystyle \left(-4,\,-3,\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}
(
4
,
3
,
2
2
)
{\displaystyle \left(4,\,3,\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}
(
0
,
0
,
8
2
3
)
{\displaystyle \left(0,\,0,\,{\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}\right)}
其中，有正负号者代表两个顶点。在这样的顶点配置下，恰萨尔十四面体21条边中共有8个不同的边长，分别为：
1238
6
{\displaystyle {\frac {\sqrt {1238}}{6}}}
3
70
2
{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {70}}}{2}}}
2
374
3
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {374}}}{3}}}
2
662
3
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {662}}}{3}}}
3
134
2
{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {134}}}{2}}}
1938
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {1938}}{2}}}
[ 3]
若一恰萨尔十四面体最短边长为单位长，则其体积约为8.50517立方单位、表面积
A
{\displaystyle A}
[ 11]
A
=
6
3
+
6
38
+
2
101
+
3
602
+
713
+
755
+
3
878
6
≈
47.3597
{\displaystyle A={\frac {6{\sqrt {3}}+6{\sqrt {38}}+2{\sqrt {101}}+3{\sqrt {602}}+{\sqrt {713}}+{\sqrt {755}}+3{\sqrt {878}}}{6}}\approx 47.3597}
恰萨尔十四面体对应的图和其对偶图可以用来查找斯坦纳三元系统（Steiner triple systems）[ 12]
Gardner, Martin , Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, W. H. Freeman and Company, 1988, ISBN 0-7167-1924-XAlexander Bogomolny. Császár Polyhedron . Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. [2021-09-08 ] . （原始内容存档 于2021-08-14）. Ziegler, Günter M. , Polyhedral Surfaces of High Genus, Bobenko, A. I.; Schröder, P.; Sullivan, J. M. ; Ziegler, G. M. (编), Discrete Differential Geometry, Oberwolfach Seminars 38 , Springer-Verlag: 191–213, 2008, ISBN 978-3-7643-8620-7arXiv:math.MG/0412093 doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_10 Lutz, Frank H., Császár's Torus , Electronic Geometry Models, 2001: 2001.02.069 [2021-09-08 ] , （原始内容存档 于2022-01-19） L. Szilassi. On Three Classes of Regular Toroids (PDF) . Symmetry: Culture and Science (Department of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering, Slovak University of Technology in Bratislava). 2000, 11 (1–4): 317–335 [2021-09-08 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2016-06-09）. 
