等腰三角形

在幾何學中，等腰三角形（英語：Isosceles triangle）是指至少有兩邊長度相等的三角形，因此會造成有2個角相等。相等的兩個邊稱等腰三角形的腰，另一邊稱為底邊，相等的兩個角稱為等腰三角形的底角，其餘的角叫做頂角。^[1]

等腰三角形
等腰三角形
對偶	相似的等腰三角形
邊	3
頂點	3
施萊夫利符號	{3} （底角和頂角相等）
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	isot
面積	${\displaystyle {\frac {c}{2}}{\sqrt {a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}}$或${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,c\cdot h_{c}}$ 底邊${\displaystyle c}$ 腰${\displaystyle a}$ 底邊的高${\displaystyle h_{c}}$
內角（度）	60° (底角和頂角相等時) 底角${\displaystyle \alpha }$ 頂角${\displaystyle \gamma }$
閱 論 編

等腰三角形的重心、和垂心都位於頂點向底邊的垂線，可以把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形。^[2]

等邊三角形是底邊和腰等長的等腰三角形，是等腰三角形的一個特殊形式。若等腰三角形的頂角為直角，稱為等腰直角三角形。

命名

等腰三角形在英文中稱為isosceles，來自希臘文，意思是「等長的腳」^[2]

性質

等腰三角形具有下列性質^[1]:P.204：

• 兩底角相等
• 頂角的角平分線、底邊的中線和高互相重合
• 當腰長等於底邊長時，則底角和頂角為60度（即等邊三角形）

邊長	${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos(\gamma ))}$
角	${\displaystyle \alpha =\beta ,\,\gamma =180^{\circ }-2\alpha }$
面積	${\displaystyle A\,=\,{\frac {c}{2}}{\sqrt {a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}}$ 或 ${\displaystyle A\,=\,{\frac {1}{2}}\,c\cdot h_{c}}$
周界	${\displaystyle u\,=\,2a+c}$

等腰三角形定理

若一三角形的二邊相等，則二邊的對角相等，此定理列在歐幾里德的《幾何原本》中，稱為驢橋定理，也是等腰三角形定理。驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題，是數學能力的一個門檻^[3]，無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。

驢橋定理的逆定理是若一三角形的二角相等，則二角的對邊相等。

等腰三角形的全等

若二等腰三角形，其腰相等，底邊也相等，即可以用SSS全等證明二個等腰三角形全等，而三角形的角可以用餘弦定理求得。

等腰三角形的相似

等腰三角形的頂角${\displaystyle \gamma }$ 和底角${\displaystyle \alpha }$有以下的關係：

${\displaystyle \textstyle 2\alpha +\gamma =180^{\circ }}$

已知其中一個就可以知道另一個，若二等腰三角形的頂角相等或底角相等，即可以用AAA相似證明二個等腰三角形全等，各邊的關係可以用正弦定理求得。

對稱軸

等腰三角形為軸對稱，其對稱軸和底邊的高、中垂線、中線及頂角的角平分線重合（三線合一）^[4]。等腰三角形的內心、外心、重心、垂心及頂點所對旁心五心共線，都在對稱軸上^[5]。

等腰三角形   對稱軸   中垂線和外心   中線和重心   角平分線和內心

和其他圖形的關係

• 二個底邊相等的等腰三角形可以組合成一個鳶形，此鳶形有一個對稱軸，即為二等腰三角形的高。
• 二個全等的等腰三角形可以組合成一個菱形，此菱形有二個對稱軸，包括二等腰三角形的高，以及等腰三角形的底邊。
• 圓錐的投影圖中有一面即為等腰三角形。
• 將扇形的二半徑和扇形的弦相連，也是等腰三角形。

相關條目

• 驢橋定理
• 等邊三角形
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