等腰三角形

在几何学中，等腰三角形（英语：Isosceles triangle）是指至少有两边长度相等的三角形，因此会造成有2个角相等。相等的两个边称等腰三角形的腰，另一边称为底边，相等的两个角称为等腰三角形的底角，其余的角叫做顶角。^[1]

等腰三角形
等腰三角形
对偶	相似的等腰三角形
边	3
顶点	3
施莱夫利符号	{3} （底角和顶角相等）
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	isot
面积	${\displaystyle {\frac {c}{2}}{\sqrt {a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}}$或${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,c\cdot h_{c}}$ 底边${\displaystyle c}$ 腰${\displaystyle a}$ 底边的高${\displaystyle h_{c}}$
内角（度）	60° (底角和顶角相等时) 底角${\displaystyle \alpha }$ 顶角${\displaystyle \gamma }$

等腰三角形的重心、和垂心都位于顶点向底边的垂线，可以把等腰三角形分成两个全等的直角三角形。^[2]

等边三角形是底边和腰等长的等腰三角形，是等腰三角形的一个特殊形式。若等腰三角形的顶角为直角，称为等腰直角三角形。

命名

等腰三角形在英文中称为isosceles，来自希腊文，意思是“等长的脚”^[2]

性质

等腰三角形具有下列性质^[1]:P.204：

• 两底角相等
• 顶角的角平分线、底边的中线和高互相重合
• 当腰长等于底边长时，则底角和顶角为60度（即等边三角形）

边长	${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos(\gamma ))}$
角	${\displaystyle \alpha =\beta ,\,\gamma =180^{\circ }-2\alpha }$
面积	${\displaystyle A\,=\,{\frac {c}{2}}{\sqrt {a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}}$ 或 ${\displaystyle A\,=\,{\frac {1}{2}}\,c\cdot h_{c}}$
周长	${\displaystyle u\,=\,2a+c}$

等腰三角形定理

若一三角形的二边相等，则二边的对角相等，此定理列在欧几里德的《几何原本》中，称为驴桥定理，也是等腰三角形定理。驴桥定理是在几何原本的前面出现的较困难命题，是数学能力的一个门槛^[3]，无法理解此一命题的人可能也无法处理后面更难的命题。

驴桥定理的逆定理是若一三角形的二角相等，则二角的对边相等。

等腰三角形的全等

若二等腰三角形，其腰相等，底边也相等，即可以用SSS全等证明二个等腰三角形全等，而三角形的角可以用余弦定理求得。

等腰三角形的相似

等腰三角形的顶角${\displaystyle \gamma }$ 和底角${\displaystyle \alpha }$有以下的关系：

${\displaystyle \textstyle 2\alpha +\gamma =180^{\circ }}$

已知其中一个就可以知道另一个，若二等腰三角形的顶角相等或底角相等，即可以用AAA相似证明二个等腰三角形全等，各边的关系可以用正弦定理求得。

对称轴

等腰三角形为轴对称，其对称轴和底边的高、中垂线、中线及顶角的角平分线重合（三线合一）^[4]。等腰三角形的内心、外心、重心、垂心及顶点所对旁心五心共线，都在对称轴上^[5]。

等腰三角形   对称轴   中垂线和外心   中线和重心   角平分线和内心

和其他图形的关系

• 二个底边相等的等腰三角形可以组合成一个筝形，此筝形有一个对称轴，即为二等腰三角形的高。
• 二个全等的等腰三角形可以组合成一个菱形，此菱形有二个对称轴，包括二等腰三角形的高，以及等腰三角形的底边。
• 圆锥的投影图中有一面即为等腰三角形。
• 将扇形的二半径和扇形的弦相连，也是等腰三角形。

相关条目

• 驴桥定理
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• 黄金三角形