Z变换

在数学和信号处理中，Z变换（英语：Z-transform）把离散的实数或复数时间信号从时域转为复频域（z域或z平面）表示。

关于统计学中的标准Z-分数，请见“标准分数”。关于统计学中的Fisher Z-转换，请见“费雪转换”。

可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性。

历史

现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年W. Hurewicz（英语：Witold Hurewicz）用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。^[1] 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的约翰·拉加齐尼（英语：John R. Ragazzini）和查德称其为“Z变换”。^[2][3]

约翰·拉加齐尼（英语：John R. Ragazzini）后来发展并推广了改进或高级Z变换。^[4][5]

Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。^[6] 从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。

定义

像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。

双边Z变换

双边Z变换把离散时域信号${\displaystyle x[n]}$转为形式幂级数${\displaystyle X(z)}$。

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}$

当中 ${\displaystyle n}$ 是整数，${\displaystyle z}$ 是复数变量，其表示方式为

${\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,}$

其中 A 为 z 的模，j 为虚数单位，而 ɸ 为辐角（也叫相位角），用弧度表示。

单边Z变换

另外，只对 n ≥ 0 定义的 x[n]，单边Z变换定义为

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}$

在信号处理中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。

单边Z变换的一个重要例子是概率母函数，其中 x[n] 部分是离散随机变量取 n 值时的概率，而函数 X(z) 通常写作 X(s)，用 s = z⁻¹ 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。

地球物理学定义

地球物理中的Z变换，通常的定义是 z 的幂级数而非 z⁻¹ 的。例如，Enders Anthony Robinson（维基数据所列：Q102443451）^[7]和Ernest R. Kanasewich（维基数据所列：Q112388807）都使用这个惯例。^[8]地球物理定义为：

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n}x[n]z^{n}.}$

这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。^[7][8] 因此，需要注意特定作者使用的定义。

逆Z变换

逆Z变换为

${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}$

其中 C 是完全处于收敛域（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2），这意味着路径 C 必须包围 X(z) 的所有极点。

这个曲线积分的一个特殊情形出现在 C 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 X(z) 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换：

${\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .}$

有限范围 n 和有限数量的均匀间隔的 z 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换（DFT）混淆—是通过将 z 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。

收敛域

收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。

${\displaystyle ROC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}$

例1（收敛域不存在）

令 ${\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}}$。在区间 ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$上展开 ${\displaystyle x[n]}$ 成为

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}$

观察上面的和

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}$

因此，没有一个 ${\displaystyle z}$ 值可以满足这个条件。

例2（因果的收敛域）

ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（外圈者，而 |z| = 0.5 这个圆用虚线圆表示（内圈者）

令 ${\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ }$（其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}$

观察这个和

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.}$

最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5z⁻¹| < 1 时成立，可以以 z 为变量写成 |z| > 0.5。因此，收敛域为 |z| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。

例3（非因果的收敛域）

ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（用眼睛看会呈红色），而 |z| = 0.5 这个圆用虚线圆表示

令 ${\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ }$（其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.}$

观察这个和

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=1-{\frac {1}{1-0.5^{-1}z}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}}$

再次使用无穷几何级数，此等式只在 |0.5⁻¹z| < 1 时成立，可以用 z 为变量写成 |z| < 0.5。因此，收敛域为 |z| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。

本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。

实例结论

实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时，${\displaystyle x[n]}$ 的Z变换 X(z) 才是唯一的。画因果和非因果情形的零极点图（英语：pole–zero plot）表明，在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形：收敛域永远不会包含极点。

在例2中，因果系统产生一个包含 |z| = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 ${\displaystyle |z|=0}$ 的收敛域。

ROC表示为蓝色圆环 0.5 < |z| < 0.75

在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如，

${\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]}$

的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |z| < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)ⁿu[n] 和一个非因果项 −(0.75)ⁿu[−n−1]。

一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |z| = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |z| > 0.5 包含单位圆。

如果我们有一个没有给定收敛域Z变换（即模糊的 ${\displaystyle x[n]}$），则可以确定一个唯一的 ${\displaystyle x[n]}$ 满足下列：

• 稳定性
• 因果性

如果要求满足稳定性，则收敛域必须包含单位圆；如果要求为一个因果系统，则收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果要求为一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果既要满足稳定性，也要满足因果性，则系统函数的所有极点都必须在单位圆内。

通过这种方法可以找到唯一的 ${\displaystyle x[n]}$。

性质

Z变换性质

	时域	Z域	证明	收敛域
记法	${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}$	${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}$		${\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}}$
线性	${\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}$	${\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}}$	包含 ROC1 ∩ ROC2
时间膨胀	${\displaystyle x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rK\\0,&n\not =rK\end{cases}}}$ r: 整数	${\displaystyle X(z^{K})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}}$	${\displaystyle R^{\frac {1}{K}}}$
降采样	${\displaystyle x[nK]}$	${\displaystyle {\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)}$	ohio-state.edu （页面存档备份，存于互联网档案馆）  或  ee.ic.ac.uk （页面存档备份，存于互联网档案馆）
时移	${\displaystyle x[n-k]}$	${\displaystyle z^{-k}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}}$	ROC，除了 k > 0 时 z = 0 和 k < 0 时 z = ∞
Z域的 尺度性质	${\displaystyle a^{n}x[n]}$	${\displaystyle X(a^{-1}z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}}$	${\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}}$
时间反转	${\displaystyle x[-n]}$	${\displaystyle X(z^{-1})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}}$
共轭复数	${\displaystyle x^{*}[n]}$	${\displaystyle X^{*}(z^{*})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}}$
实部	${\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}$
虚部	${\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}$
微分	${\displaystyle nx[n]}$	${\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}}$
卷积	${\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}}$	包含 ROC1 ∩ ROC2
互相关	${\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)}$		包含 ${\displaystyle X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})}$ 与 ${\displaystyle X_{2}(z)}$ 的ROC的交集
一阶差分	${\displaystyle x[n]-x[n-1]}$	${\displaystyle (1-z^{-1})X(z)}$		包含 X1(z) 与 z ≠ 0 的ROC的交集
累积	${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X[z]\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}}$
乘法	${\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v}$		-

帕塞瓦尔定理

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}$

初值定理：如果 x[n] 为因果的，那么

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}$

终值定理：如果 (z−1)X(z) 的极点在单位圆内，则

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}$

常见的Z变换对表

这里：

${\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}$

是单位阶跃函数而

${\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$

是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 n = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 n = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 n = 0 处为 1。

	信号，${\displaystyle x[n]}$	Z变换，${\displaystyle X(z)}$	ROC
1	${\displaystyle \delta [n]}$	1	所有 z
2	${\displaystyle \delta [n-n_{0}]}$	${\displaystyle z^{-n_{0}}}$	${\displaystyle z\neq 0}$
3	${\displaystyle u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
4	${\displaystyle e^{-\alpha n}u[n]}$	${\displaystyle 1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}}$	${\displaystyle |z|>e^{-\alpha }\,}$
5	${\displaystyle -u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
6	${\displaystyle nu[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
7	${\displaystyle -nu[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
8	${\displaystyle n^{2}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
9	${\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
10	${\displaystyle n^{3}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
11	${\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
12	${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
13	${\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
14	${\displaystyle na^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
15	${\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
16	${\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
17	${\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
18	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
19	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
20	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
21	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$

与傅里叶级数和傅里叶变换的关系

对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=e^jω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数：

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},}$

Eq.1

也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的周期性求和（英语：periodic summation），这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以写作：

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).}$

若T的单位是秒，${\displaystyle \textstyle f}$的单位即为赫兹。比较两个数列可得 ${\displaystyle \textstyle \omega =2\pi fT}$ 为标准化频率（英语：Normalized frequency (digital signal processing)#Alternative normalizations），单位是radians per sample。数值ω=2π对应${\displaystyle \textstyle f={\frac {1}{T}}}$ Hz. ，而且在替换 ${\displaystyle \textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},}$后，  Eq.1可以表示为傅里叶变换X(•):

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.}$

若数列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应，这些函数也称为频率响应，当x(nT)是周期性数列，其DTFT在一或多个共振频率发散，在其他频率均为零。这一般会用在共振频率，振幅可变的狄拉克δ函数表示。因为其周期性，只会有有限个振幅，可以用较简单许多的离散傅里叶变换来计算。（参照离散傅里叶变换#周期性）

和拉氏变换的关系

双线性变换

双线性变换可以用在连续时间滤波器（用拉氏域表示）和离散时间滤波器（用Z域表示）之间的变换，其变换关系如下：

${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}$

将一个拉氏域的函数${\displaystyle H(s)}$变换为Z域下的${\displaystyle H(z)}$，或是

${\displaystyle z={\frac {2+sT}{2-sT}}}$

从Z域变换到拉氏域。借由双线性变换，复数的s平面（拉氏变换）可以映射到复数的z平面（Z变换）。这个变换是非线性的，可以将S平面的整个jΩ轴映射到Z平面的单位圆内。因此，傅里叶变换（在jΩ axis计算的拉氏变换）变成离散时间傅里叶变换，前提是假设其傅里叶变换存在，也就是拉氏变换的收敛区域包括jΩ轴。

线性常系数差分方程

线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。

${\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}}$

上面等式两边可以同时除以 α₀，如果非零，正规化 α₀ = 1，LCCD方程可以写成

${\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.}$

LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 y[n] 是过去输出 y[n−p]、当前输入 x[n] 与之前输入 x[n−q] 的一个函数。

传递函数

对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}$

整理结果

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

零点和极点

由代数基本定理得知分子有 M 个根（对应于 H 的零点）和分母有 N 个根（对应于极点）。用极点和零点重新整理传递函数为

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}}$

其中 q_k 为 k 阶零点，p_k 为 k 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为零极点图（英语：pole–zero plot）。

此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的话，零点和极点的数目总会相等。

通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。

输出响应

如果一个系统 H(z) 由信号 X(z) 驱动，那么输出为 Y(z) = H(z)X(z)。通过对 Y(z) 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 y[n]。在实际运用中，在分式分解 ${\displaystyle {\frac {Y(z)}{z}}}$ 之后再乘 z 产生 Y(z) 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。

参见

• 高级Z变换
• 双线性变换
• 差分方程（递推关系式）
• 离散卷积
• 离散时间傅里叶变换
• 有限脉冲响应
• 形式幂级数
• 拉普拉斯变换
• 洛朗级数
• 概率母函数
• 星标变换
• Zak变换（英语：Zak transform）
• ζ函数正规化（英语：Zeta function regularization）

参考文献

1. E. R. Kanasewich. Time sequence analysis in geophysics 3rd. University of Alberta. 1981: 185–186. ISBN 978-0-88864-074-1.
2. J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh. The analysis of sampled-data systems. Trans. Am. Inst. Elec. Eng. 1952, 71 (II): 225–234.
3. Cornelius T. Leondes. Digital control systems implementation and computational techniques. Academic Press. 1996: 123. ISBN 978-0-12-012779-5.
4. Eliahu Ibrahim Jury. Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons. 1958.
5. Eliahu Ibrahim Jury. Theory and Application of the Z-Transform Method. Krieger Pub Co. 1973. ISBN 0-88275-122-0.
6. Eliahu Ibrahim Jury. Theory and Application of the Z-Transform Method. John Wiley & Sons. 1964: 1.
7. Enders A. Robinson, Sven Treitel. Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing. SEG Books. 2008: 163, 375–376. ISBN 9781560801481.
8. E. R. Kanasewich. Time Sequence Analysis in Geophysics. University of Alberta. 1981: 186, 249. ISBN 9780888640741.

延伸阅读

• Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.
• Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.
• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Z-transform, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Z-Transform table of some common Laplace transforms （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Mathworld's entry on the Z-transform （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Z-Transform threads in Comp.DSP （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Z-Transform Module by John H. Mathews
• A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform （页面存档备份，存于互联网档案馆）