互相关

在统计学中，互相关有时用来表示两个随机矢量 X 和 Y 之间的协方差cov（X, Y），以与矢量 X 的“协方差”概念相区分，矢量 X 的“协方差”是 X 的各标量成分之间的协方差矩阵。

卷积、互相关和自相关的图示比较。运算涉及函数${\displaystyle f}$，并假定${\displaystyle f}$的高度是1.0，在5个不同点上的值，用在每个点下面的阴影面积来指示。${\displaystyle f}$的对称性是卷积${\displaystyle g*f}$和互相关${\displaystyle f\star g}$在这个例子中相同的原因。

在信号处理领域中，互相关（有时也称为“互协方差”）是用来表示两个信号之间相似性的一个度量，通常通过与已知信号比较用于寻找未知信号中的特性。它是两个信号之间相对于时间的一个函数，有时也称为“滑动点积”，在模式识别以及密码分析学领域都有应用。

对于离散函数 f_i 和 g_i 来说，互相关定义为

${\displaystyle (f\star g)_{i}\equiv \sum _{j}{\overline {f_{j}}}\,g_{i+j}}$

其中和在整个可能的整数 j 区域取和，${\displaystyle {\overline {f}}}$表示复共轭。对于连续信号 f(x) 和 g(x) 来说，互相关定义为

${\displaystyle (f\star g,x)\equiv \int {\overline {f(t)}}g(x+t)\,dt}$

其中积分是在整个可能的 t 区域积分。

互相关实质上类似于两个函数的卷积。

特性

• 互相关与卷积通过下式发生关系：

${\displaystyle f(t)\star g(t)={\overline {f(-t)}}*g(t)}$

• 互相关并不满足交换律：

${\displaystyle (f\star g,t)=({\overline {g}}\star {\overline {f}})(-t)}$，

• ${\displaystyle (f\star g)\star (f\star g)=(f\star f)\star (g\star g)}$

• 由卷积定理可推得：

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\star g\}={\overline {{\mathcal {F}}\{f\}}}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$，

其中${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$表示${\displaystyle f}$的傅里叶变换。

• 如果${\displaystyle f}$是一个埃尔米特函数：

${\displaystyle f\star g=f*g}$

• 如果${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$都是埃尔米特函数：

${\displaystyle f\star g=g\star f}$

参见

• 卷积
• 相关
• 自相关
• 自协方差
• 维纳－辛钦定理

外部链接

• Mathworld的互相关（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://citebase.eprints.org/cgi-bin/citations?id=oai:arXiv.org:physics/0405041^{[永久失效链接]}
• https://web.archive.org/web/20061025183237/http://www.idiom.com/~zilla/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://ceb.nlm.nih.gov/pubs/hauser/Tompaper/tompaper.php^{[永久失效链接]}
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.is.ac.cn/China-Bejing2.pdf（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Cross correlation examples including 2D pattern identification