非线性控制

非线性控制（Nonlinear control）是控制理论中处理非线性系统的理论。控制理论本身是工程和数学的跨领域学科，探讨动力系统在有输入下的行为，以及如何利用反馈、前馈、信号滤波来改变输入，以调整动力系统的输出。被控制的系统会称为受控体。有一个让受控体输出可以追随参考信号的方法，就是将受控体输出反馈到控制器，和参考信号比较，利用比较后的结果来改变受控体的输入，使输出可以追随参考信号。

回授控制系统，目的是控制一系统（受控系统）使其输出可以追随参考信号。感测器会将输出转换为信号，而控制器会将实际输出的感测信号减去参考信号，应用所得到的误差信号来控制受控系统，使其输出接近参考信号。在非线性控制系统中，受控系统、感测器或是控制器中至少有一个是非线性的。

控制理论可以分为二种：线性控制理论可适用于元件均满足叠加原理的系统（线性系统），其统御方程是线性的微分方程，线性系统中若其参数不会随时间而改变，则称为线性时不变（LTI）系统，这类系统可以用强大的频域数学技巧加以分析，例如拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z转换、波德图、根轨迹图及奈奎斯特稳定判据。

非线性控制理论则是针对不符合叠加原理的系统（非线性系统），适用于较多的真实世界系统，因为所有真实世界的系统都是非线性的。其统御方程是非线性微分方程，要处理非线性控制的理论比较严谨，也比较不具一般性，只能适用在一些特定种类的系统。这些技术包括极限环理论、庞加莱映射、李亚普诺夫函数及描述函数。若只需要研究非线性系统在某稳定点附近行为，可以用近似的方式将非线性系统线性化，方法是将非线性解表示为无穷级数，再利用线性的技巧来处理^[1]。非线性系统一般会用电子计算机中的数值方法来分析，例如用仿真语言（英语：simulation language）来仿真其行为。有时虽然受控体是线性的，但使用非线性控制会让实现更简单、速度更快、更准确、或是控制需要的能量更少，不过在设计上可能也会比较困难。

非线性控制系统的例子是自动调温器控制的加热系统。大楼的温控系统对温度的变化有非线性的响应，可能是“开启”或是“关闭”，不像线性比例控制的设备，可以针对温度差作较精细的控制。因此，温度需低于“开启”的设定温度后，加热系统才会打开，之后因为加热系统的作用，温度会开始上升，温度高于“关闭”的设定温度后，加热系统会关闭，温度渐渐下降。加热系统就会依此循环运作。这个温度的循环称为极限环，就是非线性系统的特点之一。

非线性系统的特点

以下是一些非线性系统的特点

• 不遵守叠加原理
• 有多个独立的平衡点
• 会有像极限环、分岔、混沌的特性。

非线性系统的分析及控制

有许多针对非线性系统的分析及控制技巧：

• 描述函数法
• 相平面法
• 李雅普诺夫稳定性分析
• 奇异摄动法
• 针对绝对稳定性的波波夫判据及圆判据
• 中心流形定理
• 小增益定理
• 耗散性分析（Passivity analysis）

也有一些针对非线性系统的控制器设计技巧，可以分为几类。一类是在可线性的范围内，将非线性系统近似为线性系统，再用线性系统的方法处理：

• 增益规划

也有一些是用辅助的非线性回授，设法让系统接近线性，以设计控制器：

• 回授线性化

以及李亚普诺夫系列的方法：

• 李亚普诺夫再设计
• 控制李亚普诺夫函数
• 非线性阻尼（Nonlinear damping）
• 反演控制
• 滑动模式控制

非线性回授分析–Lure问题

Lure问题的方块图

早期有一个由Anatoliy Isakovich Lure（英语：Anatoliy Lure）提出的非线性回授系统分析问题。

Lur问题描述的控制系统有一个线性非时变的前向路径，其回授路径有无记忆，可能时变的非线性成分。

其线性部分可以表示为四个矩阵(A,B,C,D)，非线性成分是Φ(y)，其中${\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a<b\quad \forall y}$（扇形非线性）

绝对稳定性问题

考虑：

1. (A,B) 有可控制性，(C,A) 有可观察性
2. 存在二个实数a, b，a < b，定义了Φ的扇形区域

Lure问题（也称为绝对稳定性问题）是要推导只和传递矩阵H(s)和{a,b}有关的条件，可以使x = 0是系统的全域均匀渐近稳定平衡点。

有二个有关绝对稳定性问题的著名猜想，都已证实不成立：

• 阿依热尔曼猜想
• 卡尔曼猜想

以图形上来看，上述猜想可以表示为在Φ(y) x y或是dΦ/dy x Φ/y图上的几何制^[2]。这两个猜想存在反例，在线性稳定扇形区域内存在非线性回授，使得稳定的平衡点和稳定的周期解同时存在（隐蔽振荡）。

有二个有关Lure问题的主要定理，提供绝对稳定的充份条件：

• 圆判据（线性系统中奈奎斯特稳定判据的延伸）
• 波波夫判据

在非线性控制中的理论成果

弗罗贝尼乌斯定理

弗罗贝尼乌斯定理是微分几何中深刻的成果，其相关的概念和其他数学领域有关。若应用在非线性控制，其型式如下：假设以下型式的系统

${\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)u_{i}(t)\,}$

其中${\displaystyle x\in R^{n}}$，${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$是属于${\displaystyle \Delta }$分布的向量场，而${\displaystyle u_{i}(t)}$是控制函数，${\displaystyle x}$的积分曲线会限制在${\displaystyle m}$维流形，若${\displaystyle \operatorname {span} (\Delta )=m}$，且${\displaystyle \Delta }$是对合分布。

相关条目

• 反馈钝化（英语：Feedback passivation）
• 锁相环
• 小控制信号特性

参考资料

1. trim point. [2019-04-03]. （原始内容存档于2012-02-08）.
2. Naderi, T.; Materassi, D.; Innocenti, G.; Genesio, R. Revisiting Kalman and Aizerman Conjectures via a Graphical Interpretation. IEEE Transactions on Automatic Control. 2019, 64 (2): 670–682. ISSN 0018-9286. doi:10.1109/TAC.2018.2849597.

延伸阅读

• Lur'e, A. I.; Postnikov, V. N. К теории устойчивости регулируемых систем [On the Theory of Stability of Control Systems]. Prikladnaya Matematika I Mekhanika. 1944, 8 (3): 246–248 （俄语）.
• Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis 2nd. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1993. ISBN 978-0-13-623463-0.
• Isidori, A. Nonlinear Control Systems 3rd. Berlin: Springer. 1995. ISBN 978-3-540-19916-8.
• Khalil, H. K. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2002. ISBN 978-0-13-067389-3.
• Brogliato, B.; Lozano, R.; Maschke, B.; Egeland, O. Dissipative Systems Analysis and Control 2nd. London: Springer. 2007.
• Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Algorithms for Searching for Hidden Oscillations in the Aizerman and Kalman Problems (PDF). Doklady Mathematics. 2011, 84 (1): 475–481 [2019-04-03]. doi:10.1134/S1064562411040120. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）.
• Bragin V.O.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V.; Leonov G.A. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2011, 50 (5): 511–543 [2019-04-03]. doi:10.1134/S106423071104006X. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）.
• Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Sergio, Bittanti , 编. Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems (PDF). IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). Proceedings of the 18th IFAC World Congress. 2011, 18 (1): 2494–2505 [2019-04-03]. ISBN 9783902661937. doi:10.3182/20110828-6-IT-1002.03315. （原始内容存档 (PDF)于2020-07-09）.

外部链接

• Wolfram language functions for nonlinear control systems （页面存档备份，存于互联网档案馆）