Loading AI tools
来自维基百科,自由的百科全书
在数学中,单参数酉群的斯通定理是泛函分析的一个基本定理,建立了希尔伯特空间 上强连续单参数酉群与该空间上的某个自伴算子的一一对应关系。具体来说,单参数酉群是指幺正算子构成的单参数族 ,且 是一个连续群同态,所谓强连续是指
该定理由Marshall Stone (1930, 1932)证明,而 John von Neumann (1932) 表明,至少当希尔伯特空间是可分的, 的强连续性可以放宽为弱可测。
上述定理中的算子 被称为 的无穷小生成元。此外, 有界当且仅当映射 是范数连续的。
强连续酉群 的无穷小生成元 可以用下面的式子来计算:
其中, 的定义域为由这些在范数拓扑中存在极限的向量 组成。也就是说, 等于 乘以 关于 在 处的导数。该定理的一部分内容就是该导数的存在性——即 是一个稠密定义的自伴算子。这个结果即使在有限维情况下也不是显然的,因为 仅被假设具有(关于时间的)连续性,而不必可微。
平移算子族
是一个由酉算子构成的单参数酉群;其无穷小生成元是一个空间上的微分算子
的一个扩张,该空间由 上连续可微的紧支撑复值函数构成。因此
换句话说,直线上的运动是由动量算子生成的。
斯通定理在量子力学中有着广泛的应用。例如,给定一个孤立的量子力学系统,其状态的希尔伯特空间为 ,其时间演化则是 上的强连续单参数酉群。这个群的无穷小生成元即是系统的哈密顿算子。
斯通定理可以用傅里叶变换的语言来重述。实轴 是一个局部紧阿贝尔群。群C*-代数 的非退化*-表示与 的强连续幺正表示(即强连续的单参数酉群)一一对应。另一方面,傅里叶变换是 到 的*-同态,其中 是实轴上的在无穷远处消失的连续复值函数所构成的C*-代数。因此,强连续单参数酉群与 的*-表示之间存在一一对应关系。由于 的每个*-表示唯一地对应于一个自伴算子,就得到了斯通定理。
因此,获得强连续单参数酉群的无穷小生成元的过程如下:
的精确定义如下。考虑 上的紧支撑连续复值函数,通过由卷积给出其乘法,其构成一个*-代数 。这个 *-代数关于L1范数可完备化为一个巴拿赫*-代数,记作 。于是 就被定义为 的包络 -代数 ,即 相对于最大的可能的C*-范数的完备化。一个非平凡的事实是,傅里叶变换是 与 间的一个同构。这个方向的一个结果是黎曼-勒贝格引理,它指出傅里叶变换将 映射到 。
斯通-冯诺伊曼定理将斯通定理推广到满足正则对易关系的一对自伴算子 上,并证明它们都与 上的位置算符和动量算符幺正等价。
希尔-吉田定理将斯通定理推广到巴拿赫空间上的强连续单参数压缩半群。
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.