巴拿赫代数

泛函分析中，得名于斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代数是实数或复数（或非阿基米德完备赋范域）上的结合代数A，同时也是巴拿赫空间，即在范数导出的度量中完备的赋范空间。范数要满足 $${\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad \forall x,y\in A.}$$

这确保了乘法运算连续。

若巴拿赫代数对乘法有范数为1的单位元，则称其是含幺的（unital）。若其乘法是可交换的，则称其可交换。任意巴拿赫代数A（无论有无单位元）都可等距同构地嵌入含幺巴拿赫代数${\displaystyle A_{e}}$，从而形成${\displaystyle A_{e}}$的闭理想。通常会先验地假设所考虑的代数是含幺的：因为可以先考虑${\displaystyle A_{e}}$，再在原始代数中应用结果，来发展许多理论。不过并非总如此，例如无法在巴拿赫代数中定义不含单位元的三角函数。

实巴拿赫代数的理论可能异于复巴拿赫代数，例如非平凡复巴拿赫代数中元素的谱不会是空的，而实巴拿赫代数中，某些元素的谱可能是空的。

巴拿赫代数也可以定义在P进数域上。这是P进数分析的一部分。

例子

巴拿赫代数的典型例子是${\displaystyle C_{0}(X)}$，即定义在局部紧豪斯多夫空间X上在无穷远处消失的（复值）连续函数空间。当且仅当X是紧空间，${\displaystyle C_{0}(X)}$含幺。共轭复数是对合，因此${\displaystyle C_{0}(X)}$实际上是C*-代数。更一般地说，C*-代数都是巴拿赫代数。

• 实数（或复数）集是巴拿赫代数，范数为绝对值。
• 若给所有实数或复数n阶方阵集合配备服从乘法范数，就成为含幺巴拿赫代数。
• 取巴拿赫空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（或${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$），范数为${\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}$，并定义乘法分量形式：${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}$
• 四元数形成了4维实巴拿赫代数，范数为四元数的绝对值。
• 定义在某集合（具有逐点乘和上确范数）上的有界实值或复值函数的代数是含幺巴拿赫代数。
• 某局部紧空间（具有逐点乘和上确范数）上的有界连续实值或复值函数的代数是巴拿赫代数。
• 巴拿赫空间E（以函数复合为乘法，以算子范数为范数）上的连续线性算子的代数是含幺巴拿赫代数。E上所有紧算子的集合是巴拿赫代数，也是闭理想。若${\displaystyle \dim E=\infty }$，则没有单位元。^[1]
• 若G是局部紧豪斯多夫拓扑群，${\displaystyle \mu }$是其哈尔测度，则G上所有${\displaystyle \mu }$可积函数的巴拿赫空间${\displaystyle L^{1}(G)}$在卷积${\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h),\ \forall x,y\in L^{1}(G)}$下成为巴拿赫代数。^[2]
• 一致代数：巴拿赫代数，是复代数${\displaystyle C(X)}$的子代数，具有上确范数，包含常数并分离了X的点（必须是紧豪斯多夫空间）。
• 自然巴拿赫函数代数：一致代数，其所有特征都在X的点上取值。
• C*-代数：某希尔伯特空间上有界算子的代数的闭*-子代数，是巴拿赫代数。
• 测度代数：包含某局部紧群上所有拉东测度的巴拿赫代数，测度之积由卷积给出。^[2]
• 四元数代数${\displaystyle \mathbb {H} }$是实巴拿赫代数，不是复代数，因为四元数的中心是实数。
• 仿射体代数（affinoid algebra）是非阿基米德域上的一种巴拿赫代数，是刚性解析几何的基本构件。

性质

一些由幂级数定义的初等函数可在任意含幺巴拿赫代数中定义，如指数函数和三角函数，及更一般的任意整函数（特别地，指数映射可用于定义抽象索引群）。几何级数公式在一般含幺巴拿赫代数中仍有效。二项式定理对巴拿赫代数中两个交换元也成立。 任何含幺巴拿赫代数中的可逆元集合都是开集，其上的逆运算是连续的（因此是同胚），所以形成了乘法下的拓扑群。^[3]

若巴拿赫代数有幺元${\displaystyle \mathbf {1} }$，则${\displaystyle \mathbf {1} }$不可能是交换子；即${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} ,\ \forall x,y\in A}$。这是因为${\displaystyle xy,\ yx}$若不是${\displaystyle 0}$，则具有相同的谱。

上述例子给出的各种函数代数具有与标准代数（如实数）迥异的性质，例如：

• 是除代数的实巴拿赫代数同构于实数、复数或四元数。因此，只有是除代数的复巴拿赫代数是复形。（这就是盖尔范德-马祖尔定理）
• 没有零除子的含幺实巴拿赫代数的主理想都是闭的，代数同构于实数、复数与四元数。^[4]
• 没有零除子的交换实含幺诺特巴拿赫代数同构于实数或复数。
• 交换实含幺诺特巴拿赫代数（可有零除子）是有限维的。
• 巴拿赫代数中的永久奇异元是零的拓扑除子，也就是说，考虑巴拿赫代数A的扩张B，使一些在给定代数A中奇异的元素，在B中有乘法逆元。A中零的拓扑除子在A的任意巴拿赫扩张B中都是永久奇异的。

谱理论

主条目：谱理论

复数域上的含幺巴拿赫代数为谱理论提供了一个一般环境。元素${\displaystyle x\in A}$的谱记作${\displaystyle \sigma (x)}$，包含所有使${\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }$在A中不可逆的复标量${\displaystyle \lambda }$。任意元素x的谱是${\displaystyle \mathbb {C} }$中半径为${\displaystyle \|x\|}$、圆心在${\displaystyle 0}$的闭圆盘的闭子集，于是也是紧的。另外，元素x的谱${\displaystyle \sigma (x)}$也非空，满足谱半径公式： $${\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}$$

给定${\displaystyle x\in A}$，全纯函数微积分允许为在${\displaystyle \sigma (x)}$的邻域全纯的任意函数f定义${\displaystyle f(x)\in A}$；此外，谱映射定理成立：^[5] $${\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}$$

若巴拿赫代数A是复巴拿赫空间X上的有界线性算子的代数${\displaystyle L(X)}$（例如方阵的代数），则A中的谱与算子理论中的谱重合。对${\displaystyle f\in C(X)}$（紧豪斯多夫空间X），可见： $${\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}$$

C*-代数的正规元素x的范数与谱半径重合，这推广了正规算子的类似事实。

令A为复含幺巴拿赫代数，当中非零元x都可逆（是除代数）。${\displaystyle \forall a\in A}$，都有${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$使 ${\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }$不可逆（因为a的谱非空），于是${\displaystyle a=\lambda \mathbf {1} :}$代数A自然同构于${\displaystyle \mathbb {C} }$（盖尔范德-马祖尔定理的复数情形）。

理想与特征

令A为${\displaystyle \mathbb {C} }$上的含幺交换巴拿赫代数。由于A是含幺交换环，A的不可逆元属于A的某极大理想。由于极大理想${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in A}$是闭的，${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$是巴拿赫代数且是域，且由盖尔范德-马祖尔定理，A的最大理想集与非零同胚${\displaystyle A\to \mathbb {C} }$集${\displaystyle \Delta (A)}$之间有双射。集合${\displaystyle \Delta (A)}$称作A的“结构空间”或“特征空间”，元素为“特征”。

特征${\displaystyle \chi }$是A上的线性泛函，是乘法函数（${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}$且满足${\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1}$。）每个特征都是${\displaystyle A\to \mathbb {C} }$且自动连续，因为特征的核是最大理想，是闭的；而且范数（即算子范数）为1。装备了A上逐点收敛拓扑（即由${\displaystyle A^{*}}$的弱*-拓扑诱导的拓扑）后，特征空间${\displaystyle \Delta (A)}$是豪斯多夫紧空间。

${\displaystyle \forall x\in A,}$ $${\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}$$ q在${\displaystyle {\hat {x}}}$是x的盖尔范德表示，定义如下：${\displaystyle {\hat {x}}}$是连续函数${\displaystyle \Delta (A)\to \mathbb {C} }$，由${\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x)}$给出。${\displaystyle {\hat {x}}}$的谱也是作为紧空间${\displaystyle \Delta (A)}$上复连续函数的代数${\displaystyle C(\Delta (A))}$的元素的谱。显式地写， $${\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}$$

作为代数，当且仅当含幺交换巴拿赫代数的盖尔范德表示具有平凡核，其是半单的（即其雅各布森根为零）。这种代数的重要例子是交换C*-代数。事实上，若A是交换含幺C*-代数，则其盖尔范德表示是${\displaystyle A,\ C(\Delta (A))}$间的等距*-同构。^[a]

巴拿赫*-代数

巴拿赫*-代数A是复数域上的巴拿赫代数，以及映射${\displaystyle {}^{*}:A\to A}$，满足如下性质：

1. ${\displaystyle \forall x\in A,\ \left(x^{*}\right)^{*}=x}$（于是映射是对合）
2. ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$
3. ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\ x\in A,\ (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}$，其中${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$表示${\displaystyle \lambda }$的共轭复数
4. ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

也就是说，巴拿赫*-代数是${\displaystyle \mathbb {C} }$上的巴拿赫代数，也是*-代数。

在大多数自然例子中，还需要对合是等距的，即 $${\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.}$$ 有人把这性质纳入了巴拿赫*-代数的定义。

巴拿赫*-代数满足${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}$是C*-代数。

另见

• 近似单位
• 卡普兰斯基猜想
• 算子代数
• 希洛夫界

注释

1. 证明：由于交换C*-代数的元素都是正规的，所以盖尔范德表示是等距的；特别是，其是单射，像是闭的。盖尔范德表示的像由魏尔施特拉斯逼近定理是稠密的。

参考文献

1. Conway 1990，Example VII.1.8.
2. Conway 1990，Example VII.1.9.
3. Conway 1990，Theorem VII.2.2.
4. García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez. A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem. Proceedings of the American Mathematical Society. 1995, 123 (9): 2663–2666 [2023-12-22]. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160559. doi:10.2307/2160559. （原始内容存档于2023-12-25）.
5. Takesaki 1979，Proposition 2.8.

• Bollobás, B. Linear Analysis. Cambridge University Press. 1990. ISBN 0-521-38729-9. 含有内容需登入查看的页面 (link)
• Bonsall, F. F.; Duncan, J. Complete Normed Algebras. New York: Springer-Verlag. 1973. ISBN 0-387-06386-2.
• Conway, J. B. A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics 96. Springer Verlag. 1990. ISBN 0-387-97245-5.
• Dales, H. G.; Aeina, P.; Eschmeier, J; Laursen, K.; Willis, G. A. Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis. Cambridge University Press. 2003. ISBN 0-521-53584-0. doi:10.1017/CBO9780511615429.
• Mosak, R. D. Banach algebras. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press). 1975. ISBN 0-226-54203-3.
• Takesaki, M. Theory of Operator Algebras I. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 124 1st. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. 1979. ISBN 978-3-540-42248-8. ISSN 0938-0396.