闭集

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。在一个拓扑空间内，闭集可以定义为一个包含所有其极限点的集合。在完备度量空间中，一个闭集的极限运算是闭合的。不要混淆于闭流形。

满足${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$的点${\displaystyle (x,y)}$着蓝色。满足${\displaystyle x^{2}+y^{2}<r^{2}}$的点${\displaystyle (x,y)}$着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

闭集等价的定义

在一个任意的拓扑空间${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$内，一个集合${\displaystyle C}$是闭集当且仅当它与它的闭包${\displaystyle {\bar {C}}}$相同。等价地，一个集合${\displaystyle C}$是闭集当且仅当所有的极限点都是这个集合中的点；也就是，${\displaystyle C'\subseteq C}$。

性质

闭集包含其自身的边界。换句话说，这个概念基于“外部”的概念，如果你在一个闭集的外部，你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。注意，这个概念在边界为空的时候还是真的，比如在有理数的度量空间中，对于平方小于2的数的集合。

任意多个闭集的交集是闭集；有限多个闭集的并集是闭集。特别的，空集和全空间是闭集。

交集的性质也被用来定义空间${\displaystyle X}$上的集合${\displaystyle A}$的闭包，即${\displaystyle X}$的闭合子集中最小的${\displaystyle A}$的父集。特别的，${\displaystyle A}$的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。

例子

• 区间${\displaystyle [a,b]}$在实数上是闭集。（方括号、圆括号的集合符号，参见区间文中的解释。）
• 单位区间${\displaystyle [0,1]}$在实数${\displaystyle \mathbb {R} }$的度量空间中是闭集。而集合${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$在有理数${\displaystyle \mathbb {Q} }$上是闭集，但在实数${\displaystyle \mathbb {R} }$上并不是闭集。
• 有些集合既不是开集也不是闭集，如实数${\displaystyle \mathbb {R} }$上的半开区间${\displaystyle [0,1)}$。
• 有些集合既是开集也是闭集叫做闭开集，最简单的例子就是空集合以及拓朴空间本身。
• 半区间${\displaystyle [1,\infty )}$在实数${\displaystyle \mathbb {R} }$上是闭集。
• 康托尔集是一个独特的闭集，它包含所有边界点，并且没有一处是稠密的。
• 仅包含一个点的集合（显然它是有限集）在豪斯多夫空间内是闭集。
• 如果${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$是拓扑空间，而${\displaystyle f}$是一个从${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$的连续函数当且仅当${\displaystyle Y}$中任意的闭集${\displaystyle C}$的原像${\displaystyle f^{-1}(C)}$在${\displaystyle X}$中也是闭集。

细说

上述闭集的定义是根据开集而来得，这一概念在拓扑空间上是有意义的，同时也适用于含有拓扑结构的其他空间，如度量空间、可微流形、一致空间和规格空间。

另一种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间${\displaystyle X}$上的子集${\displaystyle A}$是闭合的，当且仅当${\displaystyle A}$的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于${\displaystyle A}$。这一表述的价值在于，它可以用在收敛空间的定义中，而收敛空间比拓扑空间更普通。注意，这一表述仍然依赖背景空间${\displaystyle X}$，因为序列是否在${\displaystyle X}$中收敛依赖于${\displaystyle X}$中的点。

集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。然而在某种意义上，紧致的豪斯多夫空间是“绝对闭合的”。精确地说，将紧致的豪斯多夫空间${\displaystyle K}$放在任意豪斯多夫空间${\displaystyle X}$中，${\displaystyle K}$总是${\displaystyle X}$的一个闭合子集；这和“背景空间”没有关系。实际上，这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。

参见

• 开集
• 闭开集
• 闭包