康托尔集

在数学中，康托尔集（Cantor set）由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入^[1][2]（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯（英语：Henry John Stephen Smith）在1875年发现^[3][4][5][6]），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。

一种像康托尔集图案的柱头。Jollois, Jean-Baptiste Prosper; Devilliers, Edouard, Description d'Egypte, Paris: Imprimerie Imperiale, 1809-1828 请检查|date=中的日期值 (帮助) 菲莱岛雕塑

康托尔集的构造

康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一的开集而得出。首先从区间${\displaystyle \left[0,1\right]}$中去掉中间的三分之一${\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$，留下两条线段：${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}$。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}$。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间${\displaystyle [0,1]}$中的点组成。这个过程可以由递归的方法描述，首先令：

${\displaystyle C_{0}:=[0,1]}$

则第${\displaystyle n}$步递归得到的结果：

${\displaystyle C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\left(C_{n-1}\cup (2+C_{n-1})\right)}$, 对于${\displaystyle n\geq 1}$

所以：

${\displaystyle {\mathcal {C}}:=}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }C_{n}}$ ${\displaystyle =\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}}$, 对于 ${\displaystyle m\geq 0}$.

下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。

有些学术论文详细描述了康托尔集的明确公式。^[7][8]

参见

• 康托尔函数
• 康托尔立方体（英语：Cantor cube）
• 谢尔宾斯基地毯
• 科赫雪花
• 门格海绵
• 分形列表（英语：List of fractals by Hausdorff dimension）

注释

1. Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)]，Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.
2. H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65.
3. Henry J.S. Smith (1875) “On the integration of discontinuous functions.” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.
4. “康托尔集”还由Paul du Bois-Reymond发现（1831–1889）。参见：Paul du Bois-Reymond (1880) “Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung，” Mathematische Annalen, vol. 16, pages 115–128的第128页的脚注。“康托尔集”还由Vito Volterra在1881年发现（1860–1940）。参见：Vito Volterra (1881) “Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue” [Some observations on point-wise discontinuous functions]，Giornale di Matematiche, vol. 19, pages 76–86.
5. José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.
6. Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos
7. Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.
8. Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.

参考文献

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446 (See example 29).
• Gary L. Wise and Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2. (See chapter 1).
• cut-the-knot上的康托尔集 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• cut-the-knot上的康托尔集与函数 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

• Cantor Sets （页面存档备份，存于互联网档案馆） and Cantor Set and Function （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot