导集

在数学，特别是点集拓扑学中，拓扑空间的子集${\displaystyle S}$的导集（导出集合）是${\displaystyle S}$的所有极限点的集合。它通常记为 ${\displaystyle S'}$。

这个概念是格奥尔格·康托尔在1872年引入的，他开发集合论很大程度上就是为了研究在实直线上的导出集合。

导集公理

导集是拓扑学的基础概念之一，可以用来定义拓扑空间。 给定集合${\displaystyle X}$，考虑一个定义在${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$上的运算${\displaystyle d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$，若${\displaystyle d}$满足以下导集公理，则称${\displaystyle d}$为导集运算：

• D₁：${\displaystyle d(\emptyset )=\emptyset }$
• D₂：${\displaystyle d(d(A))\subseteq d(A)\cup A}$
• D₃：${\displaystyle \forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})}$
• D₄：${\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)}$

${\displaystyle d(A)}$称为${\displaystyle A}$的导集。

从导集出发可以定义各种拓扑的基础概念：

• 闭集：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$是闭集，当且仅当${\displaystyle d(A)\subseteq A}$。（从此处可以看到和闭集公理的等价性，从而可以等价地定义拓扑空间。）
• 同胚：拓扑空间${\displaystyle T_{1}(X_{1},\tau _{1})}$、${\displaystyle T_{1}(X_{2},\tau _{2})}$同胚，当且仅当存在双射${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X_{1})\to {\mathcal {P}}(X_{2})}$，使得${\displaystyle \forall A\subseteq X_{1},\ f(d(A))=d(f(A))}$。

相关概念

聚点

${\displaystyle d(A)}$中的点称为${\displaystyle A}$的聚点。

性质

• ${\displaystyle S,T\subseteq X}$，若${\displaystyle S\cap T=\emptyset }$，${\displaystyle S\cap d(T)=\emptyset }$，${\displaystyle d(S)\cap T=\emptyset }$。则称${\displaystyle S}$和${\displaystyle T}$是分离的。（注意：${\displaystyle d(S)\cap d(T)}$不一定为${\displaystyle \emptyset }$）。
• 集合${\displaystyle S}$被定义为完美的，如果${\displaystyle S=d(S)}$。等价地说，完美集合是没有孤点的闭集。完美集合又称为完备集合。
• Cantor-Bendixson定理声称任何波兰空间都可以写为可数集合和完美集合的并集。因为任何波兰空间的${\displaystyle G_{\delta }}$子集都再次是波兰空间，这个定理还证明了任何波兰空间的${\displaystyle G_{\delta }}$子集都是可数集合和完美集合的并集。
• 拓扑空间${\displaystyle X}$是T₁ 空间，当且仅当${\displaystyle \forall x\in X,\ d(\{x\})=\emptyset }$。

引用

• Kechris, A. Classical Descriptive Set Theory Graduate Texts in Mathematics 156. Springer. 1995. ISBN 0-387-94374-9 ISBN 3-540-94374-9 （英语）.
• Sierpiński, Wacław F.; translated by Krieger, C. Cecilia (1952). General Topology. University of Toronto Press.

参见

• 极限点
• 导出代数