球 (数学)

球（英语：sphere）在数学里，是指球面内部的空间。球可以是封闭的（包含球面的边界点，称为闭球），也可以是开放的（不包含边界点，称为开球）。

一个球

在欧氏空间里，球是指球面的内部。

球的概念不只存在于三维欧氏空间里，亦存在于较低或较高维度，以及一般度量空间里。${\displaystyle n\,\!}$维空间里的球称为${\displaystyle n\,\!}$维球，且包含于${\displaystyle n-1\,\!}$维球面内。因此，在欧氏平面里，球为一圆盘，包含在圆内。在三维空间里，球则是指在二维球面边界内的空间。

欧氏空间里的球

在 ${\displaystyle n\,\!}$ 维欧氏空间里，一个中心为 ${\displaystyle x\,\!}$ ，半径为 ${\displaystyle r\,\!}$ 的 ${\displaystyle n\,\!}$ 维（开）球是个由所有距 ${\displaystyle x\,\!}$ 的距离小于 ${\displaystyle r\,\!}$ 的点所组成之集合。一个中心为 ${\displaystyle x\,\!}$，半径为 ${\displaystyle r\,\!}$ 的 ${\displaystyle n\,\!}$ 维闭球是个由所有距 ${\displaystyle x\,\!}$ 的距离小于等于 ${\displaystyle r\,\!}$ 的点所组成之集合。

在 ${\displaystyle n\,\!}$ 维欧氏空间里，每个球都是某个超球面内部的空间。在一维时，球是个有界的区间；在二维时，是某个圆的内部（圆盘）；而在三维时，则是某个球面的内部。

体积

主条目：n维球的体积

在 ${\displaystyle n\,\!}$ 维欧氏空间里，半径 ${\displaystyle R\,\!}$ 的球之 ${\displaystyle n\,\!}$ 维体积为^[1]：

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}$

其中，Γ是李昂哈德·欧拉的Γ函数（可被视为阶乘在实数的延伸）。使用Γ函数在整数与半整数时的公式，可不需要估算Γ函数即可计算出球的体积：

${\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},}$

${\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.}$

在奇数维度时的体积公式里，对每个奇数${\displaystyle 2k+1\,\!}$，双阶乘 (2k + 1)!! 定义为 (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。

一般度量空间里的球

令 (M,d) 为一度量空间，即具有度量（距离函数）d 的集合 M。中心为 M 内的点 p，半径为 r > 0 的开球，通常标计为 B_r(p) 或 B(p; r)，定义为

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},}$

其闭球，可标计为 B_r[p] 或 B[p; r]，则定义为

${\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}$

请特别注意，一个球（无论开放或封闭）总会包含点 p，因为依定义， r > 0。

开球的闭包通常标记为 ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}}$。虽然 ${\displaystyle B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}}$ 与 ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p]}$ 总是成立的，但 ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p]}$ 则不一定总是为真。举例来说，在一个具离散度量的度量空间 X 里，对每个 X 内的 p 而言，${\displaystyle {\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}}$，但 ${\displaystyle B_{1}[p]=X}$。

一个（开或闭）单位球为一半径为 1 的球。

度量空间的子集是有界的，若该子集包含于某个球内。一个集合是全有界的，若给定一正值半径，该集合可被有限多个具该半径的球所覆盖。

度量空间里的开球为拓扑空间里的基，其中所有的开集合均为某些（有限或无限个）开球的联集。该拓扑空间被称为由度量 d 导出之拓扑。

赋范向量空间里的球

每个具范数 |·| 的赋范向量空间亦为一度量空间，其中度量 d(x, y) = |x − y|。在此类空间里，每个球 B_r(p) 均可视为是单位球 B₁(0) 平移 p，再缩放 r 后所得之集合。

前面讨论的欧氏空间里的球亦为赋范向量空间里球的一例。

p-范数

在具 p-范数 L_p 的笛卡尔空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 里，开球是指集合

${\displaystyle B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}<r^{p}\right\}.}$

在二维（n=2）时，L₁（通常称为曼哈顿度量）的球是对角线平行于坐标轴的正方形；而 L_∞（切比雪夫度量）的球则是个边平行于坐标轴的正方形。对于 p 的其他值，该球则会是超椭圆的内部。

在三维（n=3）时，L₁ 的球是个对角线平行为坐标轴的八面体，而 L_∞ 的球则是个边平行为坐标轴的正立方体。对于 p 的其他值，该球则会是超椭球的内部。

一般凸范数

更一般性地，给定任一 Rⁿ 内中心对称、有界、开放且凸的集合 X，均可定义一个在 Rⁿ 的范数，该球均为 X 平移再一致缩放后所得之集合。须注意，若将此定理内的“开”子集以“闭”子集替代，则定理不能成立，因为原点也符合定理内所定之集合，但无法定义 Rⁿ 内的范数。

拓扑空间里的球

在拓扑学的文献里，“球”可能有两种含义，由上下文决定。

开集

“（开）球”一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用“p 点周围的一个球”代表包含p 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）

有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义：p 的一个邻域是任何包含一个p 的开集的集合，因此通常不是开集。

拓扑球

X 内的 n 维（开或闭）拓扑球是指 X 内同胚于 n 维（开或闭）欧几里得球的任一子集，该子集不一定需要由某个度量导出。n 维拓扑球在组合拓扑学里很重要，为建构胞腔复形的基础。

任一 n 维开拓扑球均同胚于笛卡尔空间 Rⁿ 及 n 维开单位超方形 ${\displaystyle (0,1)^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$。任一 n 维闭拓扑球均同胚于 n 维闭超方形 [0, 1]ⁿ。

n 维球同胚于 m 维球，当且仅当 n = m。n 维开球 B 与 Rⁿ 间的同胚可分成两种类型，以 B 的两种可能之拓扑定向来区分。

一个 n 维拓扑球不一定是光滑的；若该球是光滑的，亦不一定需微分同胚于一 n 维欧几里得球。

另见

• 球 - 一般常见的意义
• 圆盘
• 形式球，将球的半径延伸至负值。
• 邻域
• 三维球面
• n维球面（超球面）
• 亚历山大带角球（英语：Alexander horned sphere）
• 流形
• n维球的体积（英语：Volume of an n-ball）
• 正八面体，${\displaystyle \ell _{1}}$ 度量下的三维球

• 球壳（英语：Spherical shell）
• 椭球
• 球缺
• 半球

参考文献

1. NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.19(iii) n-Dimensional Sphere. [2015-09-28]. （原始内容存档于2021-04-22）.

• D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
• "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
• "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2]^{[永久失效链接]}

参见

• 数学主题