超椭圆 （英语：superellipse ）也称为拉梅曲线 （Lamé curve ），是在笛卡儿坐标系 下满足以下方程式的点的集合：
|
x
a
|
n
+
|
y
b
|
n
=
1
{\displaystyle |{\frac {x}{a}}|^{n}\!+|{\frac {y}{b}}|^{n}\!=1}
n = 0.5，a = b = 1的超椭圆n = 1.5，a = b = 1的超椭圆n = 4，a = b = 1的超椭圆，也称为方圆形（Squircle）其中n 、a 及b 为正数。
上述方程式的解会是一个在−a ≤ x ≤ +a 及−b ≤ y ≤ +b 长方形 内的封闭曲线，参数a 及b 称为曲线的半直径 （semi-diameters ）。
n 在0和1之间时，超椭圆的图形类似一个曲线的四角星，四边的曲线往内凹。
n 为1时，超椭圆的图形为一菱形 ，四个顶点为（±a , 0）及（0, ±b ）。n 在1和2之间时，超椭圆的图形类似菱形 ，四个顶点位置相同，但四边是往外凸 的曲线，越接近顶点，曲线的曲率 越大，顶点的曲率趋近无限大。
n 为2时，超椭圆的图形即为椭圆 （若a = b 时则为一个圆形 ）。当n 大于2时，超椭圆的图形看似四角有圆角 长方形 ，曲线的曲率在（±a , 0）及（0, ±b ）四点为0。n 为4的超椭圆也称为方圆形 。
n < 2的超椭圆也称为次椭圆 （hypoellipse ），n > 2的超椭圆则称为过椭圆 （hyperellipse ）。
当n ≥ 1，且a = b =1时的超椭圆是二维Lp 空间 下的单位圆，n 即为其p-范数。
超椭圆的极点为（±a , 0）及（0, ±b ），而其四个“角”为（±sa, ±sb ），其中
s
=
2
−
1
n
{\displaystyle s=2^{-{\frac {1}{n}}}}
当n 为一个非零的有理数p /q （最简分数形式），则超椭圆为一平面代数曲线 。若n 为正数，其曲线次数为pq ，若n 为负数，其曲线次数为2pq 。若a 和b 均为1且n 为偶数，则此超椭圆为一n 次的费马曲线
超椭圆的动画 超椭圆的参数方程 如下：
x
(
θ
)
=
±
a
cos
2
n
θ
y
(
θ
)
=
±
b
sin
2
n
θ
}
0
≤
θ
<
π
2
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}}
或
x
(
θ
)
=
|
cos
θ
|
2
n
×
a
sgn
(
cos
θ
)
y
(
θ
)
=
|
sin
θ
|
2
n
×
b
sgn
(
sin
θ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta }|^{\frac {2}{n}}\times a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin }\theta |^{\frac {2}{n}}\times b\operatorname {sgn}(\sin \theta )\end{aligned}}}
超椭圆内的面积可以用Γ函数 Γ(x )来表示：
S
{\displaystyle \ S}
Γ
(
x
)
=
4
a
b
(
Γ
(
1
+
1
n
)
)
2
Γ
(
1
+
2
n
)
.
{\displaystyle \Gamma (x)=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}
其垂足曲线 较容易计算，而以下曲线的垂足曲线
(
x
a
)
n
+
(
y
b
)
n
=
1
{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{n}\!+\left({\frac {y}{b}}\right)^{n}\!=1}
可以用极坐标方式来表示[ 1]
(
a
cos
θ
)
n
n
−
1
+
(
b
sin
θ
)
n
n
−
1
=
r
n
n
−
1
.
{\displaystyle (a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.}
广义的超椭圆，m ≠ n . 超椭圆可以延伸为以下的形式：
|
x
a
|
m
+
|
y
b
|
n
=
1
;
m
,
n
>
0.
{\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.}
或
x
(
θ
)
=
|
cos
θ
|
2
m
⋅
a
sgn
(
cos
θ
)
y
(
θ
)
=
|
sin
θ
|
2
n
⋅
b
sgn
(
sin
θ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}}
其中的
θ
{\displaystyle \theta }
不是 表示角度，只是方程式的一个参数。
超椭圆在笛卡儿坐标系下的表示式是由1795年出生的法国数学家加布里埃尔·拉梅 ，由椭圆的方程式扩展而得。
Zapf's Melior字体的'o'及'O'的轮廓可以用n = log(1/2) / log (7/9) ≈ 2.758的超椭圆来表示 字体设计师赫尔曼·察普夫 在1952年设计的Melior 字体 ，利用超椭圆作为字母o 的外形。三十年后高德纳 设法选择了介于椭圆及超椭圆之间的曲线（两者都用样条函数 近似），作为他的Computer Modern 字体。
1959年时瑞典斯德哥尔摩 提出了其市中心赛格尔广场 圆环 的设计竞赛。丹麦诗人皮亚特·海恩 (1905–1996)的设计以是一个n = 2.5，a /b = 6/5的超椭圆为基础[ 2]
人是唯一一种会画线然后将自己绊倒的动物。整个文明的推进有二个不同的取向：一种以直线及长方形为主，另一种则圆弧线为主。二种取向都有其机构上及心理上的原因。直线的事物可以放在一起，节省空间。而圆的东西很简单，容易移动。但我们常常会陷入要在二者中选择一个的困境，此时往往是介于二者中间的事物会更合适。随意绘制的作品－例如以往在斯德哥尔摩出现过的圆环－无法达到这一点。它不是一个固定的形状，也不像圆或方形有明确的定义，在美感上有所不足。超椭圆解决了这一个问题，它介于圆和长方形之间，既不是圆也不是长方形。它是一个有固定形状、有明确定义的一个整体。 赛格尔广场在1967年完成，而皮亚特·海恩继续在其他的艺术品中使用超椭圆，包括床、碟子、桌子等[ 3] 超级蛋
1968年在巴黎在为越战 谈判时，谈判者不满意谈判桌的外形，Balinski、Kieron Underwood及Holt在一封寄给纽约时报 的信件中建议以超椭圆作为谈判桌的外形[ 2] 墨西哥城 主办奥运时，也以超椭圆为阿兹特克体育场 的外形。
沃尔多·托布勒 在1973年提出了托布勒超椭圆投影 [ 4] 经线 就是用超椭圆来表示。
美式橄榄球 球队匹兹堡钢人 的标志是三个相连的超椭圆。
星形线 ，n = 2/3，且a = b 的超椭圆，是四尖瓣的内摆线 。
方圆形 ，n = 4，且a = b 的超椭圆，看起来像是“正方形的轮子”。
超公式 超二次曲面 超椭圆曲线 Y n f (X )的曲线。
Gardner, Martin, Piet Hein’s Superellipse, Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American, New York: Vintage Press : 240–254, 1977, ISBN 978-0-394-72349-5 
