边界 (拓扑学)

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此条目介绍的是拓扑学中的边界。关于流形中的边界，请见“流形”。

边界，（英语：boundary），是点集拓朴的概念，拓扑空间 X 的子集 S 的边界是从 S 和从 S 的外部都可以接近的点的集合。更严格的说，它是属于 S 的闭包但不是 S 的内点的所有点的集合。S 的边界的元素叫做 S 的边界点（英语：boundary point）。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和 ，${\displaystyle \partial S}$。某些作者（比如 Willard 在 General Topology 中）使用术语“边境”（frontier）而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。

集合（浅蓝色）和它的边界（深蓝色）。

S 的边界的连通单元叫做 S的边界单元。

定义

拓扑空间${\displaystyle (X,\tau )}$的子集${\displaystyle S}$的边界（记为${\displaystyle \partial S}$）有一些常用及等价的定义:

• ${\displaystyle S}$的闭包减去${\displaystyle S}$的内部：${\displaystyle \partial S={\bar {S}}-S^{o}}$。
• ${\displaystyle S}$的闭包和其补集的闭包的交集：${\displaystyle \partial S={\bar {S}}\cap {\overline {(X-S)}}}$。
• ${\displaystyle \partial S}$是所有满足以下条件的点${\displaystyle x}$的集合：${\displaystyle x}$的每个邻域都包含至少一个属于${\displaystyle S}$的点，以及至少一个不属于${\displaystyle S}$的点。这些点${\displaystyle x}$称为${\displaystyle S}$的边界点。

性质

• 集合的边界是闭集。
• p 是某集合的边界点，当且仅当所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。
• 某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。
• 某集合是闭集，当且仅当该集合的边界在该集合中；某集合是开集，当且仅当该集合与其边界不相交。
• 某集合的边界等于其补集的边界。
• 某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。
• 某集合的边界为空，当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是闭开集)。

举例

• 若 ${\displaystyle X=[0,5)\,}$，则 ${\displaystyle \partial X=\{0,5\}}$。
• ${\displaystyle \partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)}$
• ${\displaystyle \partial D^{n}\simeq S^{n-1}}$
• ${\displaystyle \partial \emptyset =\emptyset }$
• 在 R³ 中，若 Ω=x²+y² ≤ 1且Z=0，则 ∂Ω = Ω；但在 R² 中，∂Ω = {(x, y) | x²+y² = 1}。所以，集合的边界依赖其背景空间。

引用

• J. R. Munkres. Topology. Prentice-Hall. 2000. ISBN 978-0-13-181629-9.
• S. Willard. General Topology. Addison-Wesley. 1970. ISBN 978-0-201-08707-9.