数学符号

数学符号（英语：Mathematical notation）不只被使用于数学里，更包含于物理科学、工程及经济学等领域内。有些数学符号在生活中很常见，例如数字1及2、二元运算、+等，尽管它们的实际定义可能并不显浅；随着数学观念的发展，我们需要更多的符号以避免冗长的定义陈述，或是简洁地表示某些概念。一些可能出现在教科书上的符号有正弦函数${\displaystyle \sin }$、极限${\displaystyle \lim }$和微分${\displaystyle {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}}$；也有更为基本、然而抽象的符号，比如函数${\displaystyle f(x)}$、等式${\displaystyle =}$及变量${\displaystyle x}$等等。

释义

数学符号是一书写系统，用于表示数学内的概念，是一种含义高度概括、形体高度浓缩的抽象的科学语言。

• 当中的符号或符号表示式是用来传达精确语意。
• 在数学的历史里，不同的符号被用作标记数字、形状、图像和变化。除此，亦包括在一部分数学领域中，数学家的群体按照传统、或惯常使用的符号。

数学符号的一个特点为对数学概念的系统性依附^{[注 1]}。

当谈及数学符号时，总是在某个理论框架的意义下讨论它。要注意的是，同一个符号可以在不同的理论中被使用，且有着不同的意义。^{[注 2]}

表示式是能被赋予某些意义的符号串列。^{[注 3]}有需要的话，我们会在表示式中加入括号，以标明优先运算的部分。例如算式 ${\displaystyle (2+7)\times 2}$中，是先把括号中的数字${\displaystyle 2}$和${\displaystyle 7}$加起来，得出${\displaystyle 9}$，再把${\displaystyle 9}$乘以${\displaystyle 2}$。

一般来说，人们都由左至右写表示式，也从左至右的方向阐述式子，但电脑读入和运行表示式的方法则有别于此。计算机科学中，这些运算规则是由编译器执行的。^{[注 4]}

现代数学要求数学符号有精确语意，因为使用含糊不清的符号是无法给出正式的数学证明的。有了准确的符号，才能严格地推导出命题。命题亦即由一些符号以合乎规格的方式连结起来的表示式。这些数学命题通常是陈述某些数学对象的性质和关系^{[注 5]}。

透过一公理系统可推导出命题，但仅看命题中的符号，是无法理解整个式子的意义的。除了推理，我们还可把符号设想为那些被标示的数学对象，如此便得出一个模型，在该模型中命题的意义有一个诠释。如此我们可以透过直觉来了解符号或数学对象的意义，而同时这种理解又建基于严格的推理。当我们想要探究一个数学对象的特性，我们可以用描述法，将其特性形式化地一一列举。^{[注 6]}

数学对象的特性一般都有经广泛使用、或既定俗成的符号来表示之。^{[注 7]} 通常我们会加一些注解在符号上，例如：

• “所有x”、“没有x”、“存在某个x”（又或者说，“对某些x”）、“一个集合”、“一个函数”
• “一个把实数映射到复数的函数”

历史

数算

一般相信数学标记最少在50,000年前开始出现，以协助数算。除了数手指，早期用作数算的工具还有石块、树枝、骨头、黏土、木雕、绳结。 0的出现是数学中最重要的发展之一。

解析几何

初期几何的数学观念未借用数字的概念。事实上，由自然数到分数，再由分数建构出连续的实数，这个发展过程经历了超过一个世纪的时间。直至笛卡尔发展了解析几何，几何里才常常用到数字和符号。一些符号开始出现在几何证明的正式发表里，用以简略地表示数学概念。除此之外，几何定理和证明的结构也大大地影响了非几何的领域，比如是牛顿所著的《自然哲学的数学原理》。

计算机械化

随着布尔代数和进位制的出现，透过简单电路作计算这一方法成为可能。最初是以物理手段，例如用齿轮和杆，通过旋转和平移表示状态的变动。再之后是以电力，通过电压和电流的转变来代表某一项量的转变。到了今天，电脑以规格化的电路来储存和改变某一项量，除了数字外还能表示图象、声音、动作以及指令。

现代记号

十八和十九世纪时有不少数学符号被创造出来，也伴随着数学符号的规范化，有不少符号沿用至今。其中不少都是瑞士数学家欧拉所创的，比如：以${\displaystyle a,b,c}$代表常数、以${\displaystyle x,y,z}$代表未知数、e作为自然对数的底、Sigma(Σ)表示数值的总和、${\displaystyle i}$表示虚数单位，还有以${\displaystyle f(x)}$代表函数。他同时普及了以${\displaystyle \pi }$代表圆周率的使用。

许多数学领域里的数学符号也采用其发明者的写法，例如微分算子的标示源于莱布尼兹、无限基数源于康托尔^{[注 8]}、全等符号(≡) 源于高斯等等。

电脑化计算

对有些人而言，电脑化计算是一种可令他们领会到在象征式记法不能领会到的数学计算方法。他们能受益于现代的先进电脑设备，提供更多准确的视觉、听觉和触觉形式的反馈。

表意符号

参见

• 数学符号表
• 概率及统计学中的符号（英语：Notation in probability and statistics）
• 符号滥用
• 概念文字
• 数学公式的印刷惯例（英语：Typographical conventions in mathematical formulae）
• Help:数学公式
• 数学符号的历史（英语：History of mathematical notation）
• 数学字母数字符号
• 科学记数法
• 向量标示法（英语：Vector notation）
• 现代阿拉伯数学标示法（英语：Modern Arabic mathematical notation）

注记

1. 例如dy/dx此一概念在微积分中是由极限的定义给出，它的特性是由极限的定义推导出来，在多元函数中不能简单地视为一般分数，但在一元函数中可以视为微商
2. 另见相关概念：主语、逻辑论证、信服、数理逻辑和模型论。
3. 例如，若表示式中的符号代表数字和一些四则运算，则此式依一定的运算顺序来作运算过程。
4. 更多有关表示式的运算，请见计算机科学主题：热情计算、惰性计算及评估运算子。
5. 比如先前所述的数字、形状、图像和变化
6. 在不同的文本内容中，有时相同的符号或记号被用来指涉不同的概念。所以，要明白一篇关于数学的文字，首要之事是要弄清作者于文中使用的符号究竟定义为何。
7. 参见常用的数学符号表
8. 约翰·沃利斯也发明了"∞"的写法

参考资料

• Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (1929), 2 volumes. ISBN 0-486-67766-4

外部链接

• Mathematics as a Language at cut-the-knot
• Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• Mathematical ASCII Notation （页面存档备份，存于互联网档案馆） how to type math notation in any text editor.