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以实数为元素的集合 来自维基百科,自由的百科全书
连续统(英语:Continuum)在数学概念中是指,在实数集里实数可以连续变动,也就是说,实数集是个连续统。[注 1][注 2]
在集合论中,连续统是一个拥有多于一个元素的线性序集,而且其序满足如下性质[注 3]:
实数集即为连续统的例子;实际上它是连续统的原型。以下是连续统的几个例子:
康托的连续统假设有时会被叙述成“在连续统的基数和自然数的基数之间不存在任何基数”,这里的“连续统”指的是实数集;连续统的基数即特指实数集的基数。
在点集拓扑学中,一个连续统是指任何非空的紧致连通度量空间。[注 4]
按照以上定义,一个单点集也是连续统。拥有多于一个点的连续统称为非退化的连续统;由连通性和豪斯多夫性质,可知它一定含有无穷个点。连续统理论即是拓扑学中研究拓扑连续统的分支。其中一个有趣的问题是不可分解连续统的存在性:
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