稠密集

在拓扑学及数学的其它相关领域，给定拓扑空间X及其子集A，如果对于X中任一点x，x的任一邻域同A的交集不为空，则A称为在X中稠密。直观上，如果X中的任一点x可以被A中的点很好的逼近，则称A在X中稠密。

等价地说，A在X中稠密当且仅当X中唯一包含A的闭集是X自己。或者说，A的闭包是X，又或者A的补集的内部是空集。

度量空间中的稠密集

在度量空间(E,d)中，也可以如下定义稠密集。当X的拓扑由一个度量给定时，在X中A的闭包${\displaystyle {\overline {A}}}$是A与A中元素的所有数列极限（它的极限点）的集合的并集，

${\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \{\lim _{n}a_{n}:\forall n\geq 0,\ a_{n}\in A\}}$。

那么当

${\displaystyle {\overline {A}}=X}$，

A在X中是稠密的。

注意${\displaystyle A\subseteq \{\lim _{n}a_{n}:\forall n\geq 0,\ a_{n}\in A\}}$。如果${\displaystyle \{U_{n}\}}$是一个完备度量空间X中稠密开集上的序列，则${\displaystyle \cap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$在X上依然稠密。这个事实与贝尔纲定理中的一个形式等价。

例子

• 每一拓扑空间是其自身的稠密集。
• 有理数域和无理数域是实数域中的稠密集（在通常拓扑意义下）。
• 度量空间${\displaystyle M}$是其完备集${\displaystyle \gamma M}$中的稠密集。

参见

• 可分空间：存在可数稠密集的空间。
• 无处稠密集：意如其文。

参考文献

• Nicolas Bourbaki. General Topology, Chapters 1–4. Elements of Mathematics. Springer-Verlag. 1989 [1971]. ISBN 3-540-64241-2.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446