等价类
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在数学中,假设在一个集合上定义一个等价关系(用
来表示),则
中的某个元素
的等价类就是在
中等价于
的所有元素所形成的子集:
。
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等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在中的给定等价关系
的所有等价类的集合表示为
并叫做
除以
的商集。这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动,所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是,如果
是有限的并且等价类都是等势的,则
的序是
的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合
。
对于任何等价关系,都有从到
的一个规范投影映射
,给出为
。这个映射总是满射的。在
有某种额外结构的情况下,考虑保持这个结构的等价关系,接着称这个结构是良好定义的,而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象;从
到
的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。