满射
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满射或盖射(英语:surjection、onto),或称满射函数或映成函数,一个函数为满射,则对于任意的陪域
中的元素
,在函数的定义域
中存在一点
使得
。换句话说,
是满射时,它的值域
与陪域
相等,或者,等价地,如果每一个陪域中的元素
其原像
不等于空集合。
例子和反例
函数,定义为
,不是一个满射,因为,(举例)不存在一个实数满足
。
但是,如果把的陪域限制到只有非负实数,则函数
为满射。这是因为,给定一个任意的非负实数
,我们能对
求解,得到
。
性质
若将定义在上的函数
,视为其图像,即
(集合论经常如此行),则满射与否,不仅是
的性质,而是映射(需要声明陪域)的性质。[1]单射与否可以单凭图像判断,但满射则不同,不能单凭图像判断,因为要知道陪域。
右可逆函数
函数称为函数
的右逆,意思是
对
的所有元素
成立。简而言之,
的效果,可以
复原。用文字表示,
是
的右逆,意思是先做
后做
的复合
,等于
上的恒等函数,即不造成任何变化。此处不要求
是
的真正反函数,因为另一次序的复合
,不必是
的恒等函数。换言之,
可以“复原”或“抵消”
,但不必被
复原或抵消。
若函数有右逆,则必为满射。但反之,“每个满射皆有右逆”此一命题,等价于选择公理,故在某些集合论中(例如假设决定公理为真的集合论系统),不必为真。
右可消去
函数是满射,当且仅当其为右可消去(英语:right-cancellative):[2]给定任何两个有公共定义域和陪域的函数
,若
,则有
。此性质的叙述用到函数和复合,可以对应推广成范畴的态射和复合。右可消的态射称为满态射(英语:epimorphism)或满同态。满射与满态射的关系在于,满射就是集合范畴中的满态射。
范畴论中,有右逆的态射必为满态射,但反之则不然。态射的右逆
也称为
的截面(英语:section (category theory))。而有右逆的态射称为分裂满态射(英语:split epimorphism),是一类特殊的满态射。
作为二元关系
以为定义域,
为值域的函数,可以视为两集合之间的左全(英语:left-total relation)右唯一(英语:right-unique relation)的二元关系,因为可将函数与图像等同。此观点下,由
到
的满射,是右唯一而既左全又右全的关系。
定义域不小于陪域
满射的定义域,必有大于或等于其陪域的基数:若为满射,则
的元素个数必定至少等于
的元素个数(在基数意义下)。但此结论的证明,需要假定选择公理,以证明
有右逆,即存在函数
使得
对
的任意元素
成立。满足此性质的
必为单射,故由基数大小比较的定义,有
。
特别地,若和
皆是有限,且两者的元素个数相同,则
是满射当且仅当
为单射。
给定两个集合和
,以
表示“或者
为空,或者存在由
至
的满射”。利用选择公理,可以证明,
和
两者一起,足以推出
。此为康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理的变式。
复合与分解
两个满射的复合仍是满射:若和
皆为满射,且
的陪域是
的定义域,则
也是满射。反之,若
为满,则
是满射,但
不必为满射。与右可消去一节一样,从集合范畴的满射,可以推广到一般范畴的满态射。
任何函数都可以分解成一个满射与一个单射的复合:对任意,都存在满射
和单射
使得
,取法如下:定义
为所有原像
的集合,其中
历遍
的值域。该些原像两两互斥,且划分
。于是,
将每个
映到包含
的原像(此为
的元素),然后
再将
的每个元素(形如
)映到相应的
。则
为满射(因为
中的元素,是原像
,且非空,故有某个
,所以由
的定义有
),而根据
的定义,其为单射。
导出满射和导出双射
任何函数,若将其陪域限制成值域,则可以视为满射,称为其导出满射。任何满射,若将定义域换成商集,即将函数值相同的参数,折叠成同一个“等价类”,则得到一个双射,其由等价类组成的集合,射去原函数的陪域。以符号表示,每个满射可以分解成先做一个商映射,再做一个双射。考虑以下等价关系:
当且仅当
。以
表示此等价关系下,
的等价类的集合。换言之,
是
所有原像的集合。以
表示将
映到等价类
的商映射,又设
,定义为
,则
。由定义知,
是满射,而
是双射。
相关条目
参考文献
- Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Springer. 2004 [1968]. ISBN 978-3-540-22525-6.
- T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35.
- Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓扑斯,逻辑的范畴论分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. (原始内容存档于2020-03-21) (英语).