极限比较审敛法是判别级数敛散性的一种方法。
描述
Quick Facts 无穷级数, 审敛法 ...
无穷级数
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![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d3b3177dde333e5442a7d132a37b31b00f4856)
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无穷级数
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假设存在两个级数
与
,且对于任意
都有
。
如果
(
),那么两级数同时收敛或发散。
证明
对
,我们知道对于任意
都存在一正整数
使得当
时有
,等价于
![{\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7050fd0a371900dea16f48250040fe7ce40fd9)
![{\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d76b08cd07e0daeee18f28a80534e166eebe78)
![{\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b81a5bb70d3b6a7a4247fe031d9f3d4e8acd89)
由于
,我们可以让
足够小使得
为正。
因此
,根据比较审敛法,如果
收敛,则
同样收敛。
类似地,
,如果
收敛,根据比较审敛法,
亦收敛。
因此二者同时收敛或发散。
例子
判断
是否收敛。我们将其与收敛级数
进行比较。
由于
,我们可以得出原级数收敛。
参见
参考来源
- Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. 50 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR (页面存档备份,存于互联网档案馆))
- J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR (页面存档备份,存于互联网档案馆))
外部链接