小斜方十二面体

小斜方十二面体是一种均匀多面体^[1]，由30个正方形和12个十边形组成^[2]，外观为移除了所有五边形面的小斜方截半二十面体，且原有的三角形面也变成向内凹陷的锥体状，^[3]:113，原有的五边形面亦向内凹陷，其仅保留了小斜方截半二十面体的正方形面。^[4]小斜方十二面体最早出现在1881年由亚伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）描述的6种半拟正多面体（Versi-Quasi-Regular Polyhedra）中^[5]。后来又被考克斯特和米勒于1930年到1932年间发现并命名。^[6]此外，小斜方十二面体可以视为小斜方截半二十面体经过刻面（英语：Faceting）后的结果^[7]，同时，其凸包也为小斜方截半二十面体。^[8]

提示：此条目的主题不是小斜方截半二十面体。

小斜方十二面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	小反平行四边形六十面体（英语：Small rhombidodecacron）
识别
名称	小斜方十二面体 Small rhombidodecahedron
参考索引	U39, C46, W74
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	sird
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 5 (3/2 5/2) |
性质
面	42
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=42, E=120, V=60 （χ=-18）
组成与布局
面的种类	30个正方形 12个十边形
顶点图	4.10.4/3.10/9
对称性
对称群	Ih, [5,3], (*532)
图像
4.10.4/3.10/9 （顶点图） 小反平行四边形六十面体（英语：Small rhombidodecacron） （对偶多面体）

性质

小斜方十二面体由42个面、120条边和60顶点组成^[9]，在其42个面中，有30个正方形和12个十边形。其中正方形和十边形个可以分成两组，分别为15个正方形面（施莱夫利符号：{4}）、15个反向相接的正方形面（施莱夫利符号：{4/3}）、6个十边形面（施莱夫利符号：{10}）以及6个反向相接的十边形面（施莱夫利符号：{10/9}）^[10]，这些反向相接的多边形可在其顶角结构中体现出来。在其60个顶点中，每个顶点都是2个正方形和2个十边形的公共顶点，其以十边形、正方形、反向相接的十边形和反向相接的正方形的顺序连接，反向相接的多边形导致其顶点图呈反平行四边形^[11]，在顶点布局中，可以用{10.4.10/9.4/3}^[10][9][12]或4,10,4/3,10/9^[13]来表示。

定向性

小斜方十二面体的表面是一个不可定向的曲面^[9]，即无法定义表面上特定点属于内部或外部，因为任何点都可以在不打洞的情况下经由表面找到一个路径连接该点对应的背面的位置，这个特性与克莱因瓶类似^[11]。

尺寸

边长为单位长的小斜方十二面体外接球半径为${\displaystyle {\sqrt {{\sqrt {5}}+{\tfrac {11}{4}}}}}$。^[8]

${\displaystyle R={\sqrt {{\sqrt {5}}+{\frac {11}{4}}}}={\frac {\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}{2}}\approx 2.23295}$^[14][7]

二面角

小斜方十二面体的棱仅有十边形和四边形的交棱，然而其二面角在五边形坑洞与三角形坑洞时不同。^[8]

位于五边形坑洞的十边形面和四边形面交角共有60个，其值约为121.71747度：^[8]

${\displaystyle \cos ^{-1}{\left(-{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}\approx 2.12437\approx 121.71747441^{\circ }}$^[14]

位于三角形坑洞的十边形面和四边形面交角共有60个，其值约为31.71747度：^[8]

${\displaystyle \cos ^{-1}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\approx 0.55357\approx 31.71747441^{\circ }}$^[14]

相关多面体

小斜方十二面体与小星形截角十二面体、六复合五角星柱（英语：Compound of six pentagrammic prisms）以及十二复合五角星柱（英语：Compound of twelve pentagrammic prisms）共用相同的顶点布局（英语：vertex arrangement）^[15]，其亦与小十二面截半二十面体和小斜方截半二十面体有着相同的棱布局（英语：edge arrangement）。^[8][16]

小斜方截半二十面体	小十二面截半二十面体	小斜方十二面体
小星形截角十二面体	六复合五角星柱（英语：Compound of six pentagrammic prisms）	十二复合五角星柱（英语：Compound of twelve pentagrammic prisms）

全截大十二面体

全截大十二面体

类别	退化星形均匀多面体
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	t0,1,2{5/2,5}
性质
面	54
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=54, E=120, V=60 （χ=-6）
组成与布局
面的种类	12个退化截角五角星 12个正十边形 30个正方形
顶点图	2[4,10,10/2]
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
特性
顶点正、非凸
图像
2[4,10,10/2] （顶点图）

全截大十二面体是一种是一种退化的均匀星形多面体，其外观与小斜方十二面体的12个五边形空隙中加入退化的截角五角星所形成的立体相同^[17]。其中退化的截角五角星为绕两圈的五边形，在施莱夫利符号中可以用{10/2}表示^[17]。

性质

全截大十二面体为大十二面体经过全截（Omnitruncation）变换的结果。其变换过程与正二十面体变换为大斜方截半二十面体的过程相同，会使原有的面截角，并生成对偶的面截角之结果与正方形面，其通常会与先截半再截角的结果拓朴结构类似或相同^[18]。大十二面体经过全截变换后应具有54个面、180条边和120个顶点，然而因为有部分边和顶点两两重和，^[17]因此所形成的立体仅有54个面、120条边和60个顶点。

截半大十二面体

全截大十二面体

小斜方十二面体

面的组成

全截大十二面体由12个退化截角五角星、12个正十边形和30个正方形组成，每个顶点都是重复两组的正方形、十边形和退化截角五角星的公共顶点，在顶点图中可以用2[4,10,10/2]表示^[17]。

面在顶点周围的分布

参见

• 均匀多面体