小十二面截半二十面体

在几何学中，小十二面截半二十面体是一种由正五边形、正十边形和正三角形组成的星形均匀多面体，外观与小斜方截半二十面体十分相似^[6]:110，其索引为U₃₃，是小十二角星化六十面体（维基数据所列：Q18048505）的对偶多面体^[4]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）^[7]，可以视为小斜方截半二十面体的刻面（英语：Faceting）多面体。^[5][8]在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中，小十二面截半二十面体可以表示为^[1]，在威佐夫记号中可以表示为3⁄2 5 | 5^[2][3][4]。

提示：此条目页的主题不是小十二面半二十面体。

小十二面截半二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	小十二角星化六十面体（维基数据所列：Q18048505）
识别
名称	小十二面截半二十面体 Small dodecicosidodecahedron
参考索引	U33, C42, W72
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	saddid[5]
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	[1]
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3⁄2 5 | 5[2][3][4] 3 5⁄4 | 5
性质
面	44
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=44, E=120, V=60 （χ=-16）
组成与布局
面的种类	20个正三角形 12个正五边形 12个正十边形
顶点图	5.10.3/2.10
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
5.10.3/2.10 （顶点图） 小十二角星化六十面体（维基数据所列：Q18048505） （对偶多面体）
查 论 编

性质

小十二面截半二十面体是一种非凸均匀多面体，由44个面、120条边和60个顶点组成^[7]。在其44个面中，有20个正三角形面、12个正五边形面和12个正十边形面^[8][9]。

尺寸

令小十二面截半二十面体边长为单位长，则其外接球半径为：^[10]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}{2}}}$

二面角

小十二面截半二十面体有两种二面角，分别为十边形面和五边形面的交角以及十边形面和三角形面的交角。^[9][5]

其中，十边形面和五边形面的交角约为116.565度：^[5]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {-{\sqrt {5}}}{5}}\right)\approx 2.0344439357957\approx 116.565051177^{\circ }}$^[9]

十边形面和三角形面的交角约为37.377度：^[5]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)=\arccos \left({\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 0.6523581\approx 37.377368^{\circ }}$^{[9][11][12][5]}

分类

由于小十二面截半二十面体的顶点图为交叉梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此小十二面截半二十面体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种^[13]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其余由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。^[14]

自相交拟拟正多面体
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面体	大立方截半立方体	非凸大斜方截半立方体	小十二面截半二十面体
大十二面截半二十面体	小双三角十二面截半二十面体	大双三角十二面截半二十面体	二十面化截半大十二面体
小二十面化截半二十面体	大二十面化截半二十面体	斜方截半大十二面体	非凸大斜方截半二十面体

相关多面体

小十二面截半二十面体与小星形截角十二面体与均匀的6（英语：Compound_of_six_pentagrammic_prisms）和12复合五角星柱（英语：Compound_of_twelve_pentagrammic_prisms）共用相同的顶点布局^[8]。其亦与小斜方截半二十面体和小斜方十二面体共用相同的边布局。^[5]

小斜方截半二十面体	小十二面截半二十面体	小斜方十二面体
小星形截角十二面体	六复合五角星柱（英语：Compound_of_six_pentagrammic_prisms）	十二复合五角星柱（英语：Compound_of_twelve_pentagrammic_prisms）

参考文献

1. Richard Klitzing. polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-07-07）. β3o5x - saddid
2. George W. Hart. Uniform Polyhedra. 1996 [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-09-19）.
3. Vladimir Bulatov. small dodecicosidodecahedron. Polyhedra Collection. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-02-28）.
4. Weisstein, Eric W. (编). Small Dodecicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
5. Richard Klitzing. saddid, small dodekicosidodecahedron. bendwavy.org. [2022-07-27]. （原始内容存档于2019-10-30）.
6. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
7. Maeder, Roman. 33: small dodecicosidodecahedron. MathConsult. [2022-07-27]. （原始内容存档于2022-07-03）.
8. Robert Webb. Small Dodecicosidodecahedron. software3d.com. [2022-07-30]. （原始内容存档于2017-11-28）.
9. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Small Dodecicosidodecahedron. [2022-07-27]. （原始内容存档于2022-02-14）.
10. Eric W. Weisstein. Small Dodecicosidodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-07-30]. （原始内容存档于2021-12-05）.
11. Wolfram, Stephen. "acos(sqrt(15*(5+2*sqrt(5)))/15)". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
12. Wolfram, Stephen. "acos(sqrt(15*(5+2*sqrt(5)))/15) = arccos(sqrt[(5+2 sqrt(5))/15])". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
13. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-02]. （原始内容存档于2022-08-22）.
14. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.