力矩 (torque) 在物理学中,是作用力促使物体绕着转动轴或支点转动的趋向[1];也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。简略地说,力矩是一种施加于例如螺栓、飞轮一类的物体,或是拧毛巾、扳钢筋的扭转力。例如,用扳手的开口箝紧螺栓或螺帽,然后转动扳手,这动作会产生力矩来转动螺栓或螺帽。
在一个旋转系统里,作用力
、位置矢量
、力矩
、动量
、角动量
,这些物理量之间的关系。
使机械元件转动的力矩又称转矩(turning moment[2],moment of rotation[3])即转动力矩;在材料力学、土木工程和建筑学中,作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩,称为扭矩[4](torsional moment,torque),而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩,则称为弯矩[5](bending moment)。
力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力,而扭转则涉及到力矩。如上图,力矩
等于径向矢量
与作用力
的叉积。
根据国际单位制,力矩的单位是牛顿
米。本物理量非能量,因此不能以焦耳(J)作单位;根据英制单位,力矩的单位则是英尺
磅。力矩的表示符号是希腊字母
,或
。
力矩与三个物理量有关:施加的作用力
、从转轴到施力点的位移矢量
、两个矢量之间的夹角
。力矩
以矢量方程表示为
。
力矩的大小为
。
定义
用右手定则决定力矩方向
力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如,3 牛顿的作用力,施加于离支点2 米处,所产生的力矩,等于1牛顿的作用力,施加于离支点6米处,所产生的力矩。力矩是个矢量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定则来决定,也可以用叉乘计算。假设作用力垂直于杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯卷,伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线,则大拇指指向力矩的方向[6]。
假设作用力
施加于位置为
的粒子。选择原点(以红点表示)为参考点,只有垂直分量
会产生力矩。这力矩
的大小为
,方向为垂直于屏幕向外。
更一般地,如图右,假设作用力
施加于位置为
的粒子。选择原点为参考点,力矩
以方程定义为
。
力矩大小为
;
其中,
是两个矢量
与
之间的夹角。
力矩大小也可以表示为
;
其中,
是作用力
对于
的垂直分量。
任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。
从叉积的性质,可推论,力矩垂直于位置矢量
和作用力
。力矩的方向与旋转轴平行,由右手定则决定。
与角动量之间的关系
地心引力
的力矩造成角动量
的改变。因此,陀螺呈现进动现象。
假设一个粒子的位置为
,动量为
。选择原点为参考点,此粒子的角动量
为
。
粒子的角动量对于时间的导数为
;
其中,
是质量,
是速度,
是加速度。
应用牛顿第二定律,
,可以得到
。
按照力矩的定义,
,所以,
。
作用于一物体的力矩,决定了此物体的角动量
对于时间
的导数。
假设几个力矩共同作用于物体,则这几个力矩的合力矩
共同决定角动量的对于时间的变化:
。
关于物体的绕着固定轴的旋转运动,
;
其中,
是物体对于固定轴的转动惯量,
是物体的角速度。
所以,取上述方程对时间的导数:
;
其中,
是物体的角加速度。
单位
力矩的定义是距离乘以作用力。根据国际单位制,力矩的单位是牛顿
米[7](Nm)。虽然牛顿与米的次序,在数学上,是可以交换的,但是国际重量测量局(Bureau International des Poids et Mesures)规定这次序应是牛顿
米,而不是米
牛顿[8]。
根据国际单位制,能量与功量的单位是焦耳,定义为1牛顿
米。但是,焦耳不是力矩的单位。因为,能量是力点积距离的标量;而力矩是距离叉积作用力的矢量。当然,量纲相同并不尽是巧合,使1牛顿
米的力矩,作用1 全转,需要恰巧
焦耳的能量:
。
其中,
是能量,
是移动的角度,单位是弧度。
根据英制,力矩的单位是英尺
磅。
矩臂方程
矩臂图
在物理学外,其他的学术界里,力矩时常会如以下定义:
。
右图显示出矩臂(moment arm)、前面所提及的相对位置
、作用力
(force)。这个定义并没有指出力矩的方向,只有力矩的大小。所以,并不适用于三维空间问题。
静力概念
当一个物体在静态平衡时,合力是零,对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是
,
,
。
这里,
是作用力
分别在x-轴与y-轴的分量。假若,这三个联立方程有解,则称此系统为静定系统;不然,则称为静不定系统。
力矩、能量和功率之间的关系
假设施加作用力于一物体,使得此物体移动一段距离,则作用力对于此物体做了机械功。类似地,假设施加力矩于一物体,使得此物体旋转一段角位移,则力矩对于此物体做了机械功。对于穿过质心的固定轴的旋转运动,以数学方程表达,
;
其中,
是机械功,
、
分别是初始角和终结角,
是无穷小角位移元素。
根据功能定理,
也代表物体的旋转动能
的改变,以方程表达,
。
功率是单位时间内所做的机械功。对于旋转运动,功率
以方程表达为
。
请注意,力矩注入的功率只跟瞬时角速度有关,而角速度是否在增加中,或在减小中,或保持不变,功率都与这些状况无关。
实际上,在与大型输电网络相连接的发电厂里,可以观察到这关系。发电厂的发电机的角速度是由输电网络的频率设定,而发电厂的功率输出是由作用于发电机转动轴的力矩所决定。
在计算功率时,必须使用一致的单位。采用国际单位制,功率的单位是瓦特,力矩的单位是牛顿-米,角速度的单位是每秒弧度(不是每分钟转速rpm,也不是每秒钟转速)。
力矩原理
力矩原理阐明,几个作用力施加于某位置所产生的力矩的总和,等于这些作用力的合力所产生的力矩。力矩原理又名伐里农定理(Varignon's theorem)[9](以法国科学家兼神父皮埃尔·伐里农命名),以方程表达,
。
参考文献
Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
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Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
延伸阅读
参阅
外部链接