凸多面体

在几何学中，凸多面体是指所有边上的二面角（两个面所形成的角）都不大于180°（平角）且不存在自相交的多面体。为了满足这个条件，其所有面必须是凸多边形（所有顶点内角均不大于 180°且无自交的多边形）。凸多面体也可以定义成内部为凸集的简单多面体^{[注 1][1]}。

凸多面体

柏拉图立体、半正多面体和詹森多面体都是凸多面体，而星形正多面体不是凸多面体。

严格凸多面体是凸多面体的子集，为不存在两两共面之面的多面体。 在凸多面体中所有内角都不大于180度，而严格凸多面体则要求所有边上的二面角都要严格小于180°。 因此可以将凸多面体分为严格凸多面体和非严格凸多面体。

目前还没有公式或方法可以计算任意凸多面体的体积。^[2][4][6]

定义

定义1

如果多面体满足以下条件，则该多面体是凸多面体：

对这个多面体所有的面而言，其中一个面，满足“这个多面体完全包含在这个面对应的平面所构成的其中一个半空间中”的条件。^[7]

定义2

对于每个具有s个面的凸多面体，都有s行、三列的矩阵M和s维向量b：

${\displaystyle \mathbf {M} \in {\mathcal {M}}_{s\times 3}(\mathbb {R} ),\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{s}}$

多面体可以定义为下列线性不等式组的解集：^[2]

${\displaystyle \mathbf {M} \cdot \mathbf {r} \leq \mathbf {b} ,\qquad \mathrm {i.e.} \sum _{j}M_{ij}r_{j}\leq b_{i}}$

其中${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$为多面体内部的点。每个方程式都要求这些点要位于面对应的平面的正确一侧。当矩阵${\displaystyle \mathbf {M} }$和向量${\displaystyle \mathbf {b} }$的元素是任意实数时，${\displaystyle \mathbf {M} \cdot \mathbf {r} \leq \mathbf {b} }$形式系统的解${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$不一定会是多面体。因此，要成为多面体，${\displaystyle \mathbf {M} }$和${\displaystyle \mathbf {b} }$都必须满足某些条件。

举例来说，正四面体、立方体和正八面体的M矩阵和b向量可能为^[2]（具体值会依边长而变）：

凸多面体	s	M矩阵	b向量
正四面体	4	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&-1\\-1&1&-1\\-1&-1&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}$
立方体	6	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\-1&0&0\\0&1&0\\0&-1&0\\0&0&1\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}}$
正八面体	8	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\1&-1&1\\1&-1&-1\\-1&1&1\\-1&1&-1\\-1&-1&1\\-1&-1&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}}$

严格凸与非严格凸

能满足上述条件的多面体可能存在平角的二面角。如果这个多面体存在至少一个二面角角度等于180度，即称这个多面体为“非严格凸多面体”。^[8]许多情况会把非严格凸多面体排除在“凸多面体”外，例如在讨论詹森多面体时，其“凸多面体”代表的是“严格凸多面体”，非严格凸多面体的“所有面都是正多边形”的立体仅能归类在拟詹森多面体。而如果所有二面角都严格小于180度，则称该多面体为“严格凸多面体”。

性质

对于顶点数有限的凸多面体，欧拉特性必须与球体的欧拉特性一致，因此其顶点数（V）、边数（E）和面数（F）必定会满足下列等式：^[9]

${\displaystyle F+V-E=2\,}$

非凸多面体则不一定满足上述等式，尤其是存在自相交情况的多面体。

凸多面体还具有下列特性：

• 凸多面体不存在边或面自我相交的情况。
• 每个内角、二面角皆小于180度。
• 凸多面体的任何两个顶点间的线段位于这个多面体的内部或表面上。
  • 在凸多面体内部或表面上的任何两个点间的线段也同样都会位于多面体的内部或表面上。
  • 凸多面体内部的任两个点间的线段必定位于多面体内部（非凸多面体则不一定）
• 多面体完全包含在任意面对应的平面所限定的封闭半空间中。
• 对所有面而言，任何内部的点都在由该面锁定之平面的同一侧。
• 凸多面体的凸胞就是本身。

相关概念

凹多面体

凹多面体

凹多面体是指至少存在一个内角的角度超过180°的二面角，且无自相交情况的多面体。不是凸多面体的多面体（非凸多面体）不一定会是凹多面体，例如星形多面体，因此凹多面体并不能完全看作是凸多面体的相对概念。

凹多面体存在这样的两个一组的位于凹多面体表面或内部的顶点：这两个顶点连成的线段有部分在多面体外部。^[10]

一般凹多面体也是探讨欧拉特性与球体的欧拉特性一致立体，也就是其顶点数（V）、边数（E）和面数（F）满足下列等式的多面体：

${\displaystyle F+V-E=2\,}$

这个数值称为欧拉示性数，一般凸多面体与凹多面体欧拉示性数都为2。因此著名的希洛西七面体有一个洞，其欧拉示性数为零，因此希洛西七面体非凸也非凹，更适合它的分类是环形多面体（英语：Toroidal_polyhedron）。

非凸多面体

自相交非凸多面体

所有不满足凸多面体条件的多面体都称为非凸多面体。例如星形多面体。凹多面体也是非凸多面体的一种。

此外，也存在无法良好具象化的非凸多面体，例如四面半六面体的对偶多面体，虽然温尼尔提出了一种无穷星形的具象化方式^[11]，但是也存在其他学者提出的具象化方式^[12]。

非凸多面体的欧拉特性未必与球体的欧拉特性一致，也就是其顶点数（V）、边数（E）和面数（F）的欧拉示性数${\displaystyle F+V-E}$不一定为二，例如下方星形多面体的附图小星形十二面体（这多面体也属于非凸多面体）^[13]，其欧拉示性数为负六（${\displaystyle F+V-E=-6}$）因此在拓朴学上非凸多面体的结构较为复杂，没有一定的规则。

四面半六面体是一种非凸多面体

非凸多面体通常探讨的是可以具象化且存在体积的立体（“存在体积”这一条件也有例外），例如八面体半形不存在能够将之具象化的实体多面体、皮特里四面体虽然可以具象化，但其面是扭歪多边形，无法确定唯一的体积、和黑塞二十七面体顶点位于复数空间中，因此无法分辨内部及外部区域故无法计算其体积……等立体一般都不会被归类在非凸多面体和凸多面体中。

上述提到的“无法分辨内部及外部区域”的立体也有可能是非凸多面体。例如四面半六面体表面是一个不可定向的曲面^[14]，无法分辨内部与外部，因此也无法确定其体积，但四面半六面体是一个非凸多面体^[12]。

星形多面体

星形多面体

主条目：星形多面体

星形多面体是一种非凸多面体，其概念较为复杂，通常指外形有如星形形状的立体^[15][16]，或者结构满足星形域的多面体^[17]。不少星形多面体都有自相交的面，例如星形正多面体和星形均匀多面体。也存在面没有自相交或者是属于凹多面体的星形多面体，例如凹五角锥十二面体的外形构成的立体（由三角形组成的那一种）。

参见

• 凸多胞形
• 凸多边形

注释

1. 此处的简单多面体定义为简单多边形在三维空间中的推广，即不存在面或边自我相交的多面体，与复杂多面体（对应复杂多边形）相对。而非指简单多胞形所讨论的三维例子。

参考文献

1. Definition and properties of convex polygons with interactive animation.. [2020-03-03]. （原始内容存档于2017-10-17）.
2. Weisstein, Eric W. (编). Convex Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. Grünbaum, B. and Klee, V. CUPM [Committee on the Undergraduate Program in Mathematics] Geometry Conference Proceedings, Part I: Convexity and Applications. Lectures by Branko Grünbaum and Victor Klee (Ed. L. K. Durst). Math. Assoc. Amer., No. 16, 1967-08
4. Grünbaum and Klee 1967^[3], p. 21
5. Ogilvy, C. S. Excursions in Geometry. New York: Dover, 1990.
6. Ogilvy 1990^[5], p. 173
7. A. Pogorelov Geometry Mir Publishers Moscow (1987)
8. Pak, Igor. Lectures on discrete and polyhedral geometry. Manuscript (Citeseer). 2010 [2023-11-12]. （原始内容存档于2023-11-12）.
9. Richeson, D.S. Euler's Gem: The polyhedron formula and the birth of topology. Princeton University Press. 2008.
10. Concave polyhedron. artofproblemsolving.com. [2023-11-12]. （原始内容存档于2023-11-12）.
11. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)
12. Gailiunas, Paul, Finite Representations of Infinite Dual Polyhedra (PDF), people.tamu.edu, [2021-08-19], （原始内容存档 (PDF)于2021-08-19）
13. Zvonkine, Alexandre. Functional composition is a generalized symmetry. Symmetry: Culture and Science. 2011, 22 (3-4): 391–426.
14. Hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-01-26）.
15. はじめての多面体おりがみ: 考える頭を作ろう. Heart warming life series. 日本ヴォーグ社. 2001: 84. ISBN 9784529035477.
16. 前川淳. 摺紙幾何學：60種特殊摺紙. 科学视界. 世茂出版社. 2018-04-02. ISBN 9789578799165.
17. Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-28763-4, MR0698076

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 凸多面體. MathWorld.