黑塞二十七面体

在几何学中，黑塞二十七面体（Hessian polyhedron）是一个复正多面体，其位于${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$复希尔伯特空间中由27个莫比乌斯－坎特八边形组成^[1]，共有27个面、72条三元边^{[注 1]}和27个顶点，是一个自身对偶的多面体^{[注 2][2]}，其可以视为实数空间的四面体在复数空间中的类比^[3]。

黑塞二十七面体

投影到实二维空间的平行投影
类别	复正多面体
对偶多面体	黑塞二十七面体（自身对偶）
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	3{3}3{3}3
性质
面	27个3{3}3
边	72条3{}（英语：Trion (geometry)）
顶点	27
欧拉特征数	F=27, E=72, V=27 （χ=-18）
特殊面或截面
皮特里多边形	十二边形
梵奥斯截面 （英语：Van_Oss_polygon）	12个3{4}2
组成与布局
面的种类	莫比乌斯－坎特八边形
顶点图	3{3}3
边的种类	三元棱（英语：Trion (geometry)）
布局矩阵 （英语：Configuration_(polytope)）	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}27&8&8\\3&72&3\\8&8&27\end{smallmatrix}}\right]}$
对称性
谢泼德群 （英语：Shephard groups）	L3 = 3[3]3[3]3, order 648
特性
正
查 论 编

由于这种形状与黑塞排布共享复排布（英语：Complex configuration）结构，即12条线上有9个点，每条线上有3个点，每个点上有4条线，因此考克斯特将这种形状以路德维希·奥托·黑塞的名字命名。^[5]

黑塞二十七面体是一种位于复数空间的立体，其对应到实数空间同样也有一种实数空间的代表，其为2₂₁多胞体（英语：2_21_polytope），考克斯特表示法计为，其在六维空间中^[1]与黑塞二十七面体共用其27个顶点，其216条边可透过将三元边₃{}替换成3条简单边即可于2₂₁中被观察到。^[6]

性质

黑塞二十七面体由27个全等的莫比乌斯－坎特八边形组成^[1]，共有27个面、72条边和27个顶点^[2]，其72条边皆为三元边，每个边皆连接了3个顶点^[7]；其27个顶点中，每个顶点皆为8个莫比乌斯－坎特八边形的公共顶点，即顶点图为莫比乌斯－坎特八边形，换句话说即黑塞二十七面体是一个自身对偶多面体。^{[注 2][2]}

对称性

其复镜像群（英语：Complex reflection group）为₃[3]₃[3]₃或对称性，阶数为648阶^[1]，这种对称性又可以称为黑塞群（英语：Hessian group）。其在每个顶点有27个副本，阶数为24阶，其有24个三阶反射对称性。其考克斯特数为12，且具有基本不变量3,6和12的度数，其可以在多面体的投影对称性中被观察到。^[6]

顶点座标

对于λ, μ = 0,1,2，黑塞二十七面体的27个顶点可以在三维的复数空间中给出：^[8]

(0,ω^λ,−ω^μ)

(−ω^μ,0,ω^λ)

(ω^λ,−ω^μ,0)

其中${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$.

面的组成

主条目：莫比乌斯－坎特八边形

黑塞二十七面体，其中一个面以蓝色表示。

黑塞二十七面体由27个全等的莫比乌斯－坎特八边形组成^[1]。莫比乌斯－坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构，其在施莱夫利符号中可以用₃{3}₃来表示、在考克斯特记号中可以用来表示。与一般的八边形不同，莫比乌斯－坎特八边形位于复希尔伯特平面，且构成这种形状的棱每个棱阶连接了三个顶点，称为三元棱或三元边（Trion），这种几何结构在施莱夫利符号中可以用₃{}来表示。^[9]

莫比乌斯－坎特八边形的正投影图

考克斯特平面	B4		F4
图
对称性	[8]		[12/3]

正交投影

黑塞二十七面体有8种具有特殊对称性的正交投影。其中重合的顶点以不同颜色表示，其72个三元边被绘制为3条一般的边。其中，第一种代表了E₆的考克斯特平面^[1]。

考克斯特平面正交投影

E6 [12]	Aut(E6) [18/2]	D5 [8]	D4 / A2 [6]
(1=红,3=橘)	(1)	(1,3)	(3,9)
B6 [12/2]	A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(1,3)	(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

用途

部分研究中，此形状用于表示标准模型中一些基本粒子的关系^[10]。

相关多面体及其他几何结构

以亚历山大·威廷（英语：Alexander Witting）命名的复空间四维正多胞体——威廷二百四十胞体（英语：Witting polytope）是一种由240个黑塞二十七面体所组成的四维正多胞体，其胞和顶点图皆为黑塞二十七面体。^[11]

参见

• 双黑塞二十七面体
• 截半黑塞二十七面体

注释

1. 在数学中，边或棱通常可以代表顶点皆只位在单一轴上并不涉及其他轴分量组成的几何结构，例如x轴上的(2,0)连接到(3,0)的棱，但若将每一个维度从实数推广至复数，则“轴”的概念可以被替换为高斯平面，这意味着棱不再只是一条线段，而可能是高斯平面上的一个区域。而三元边或三元棱则为连接三个顶点所构成复数空间的棱。这种结构无法存于实空间，在实空间中，三元棱对应的几何结构为三角形。
2. 对偶多面体为本身的多面体称为自身对偶多面体。

参考文献

1. Coxeter, H. S. M., Moser, W. O. J.; Generators and Relations for Discrete Groups (1965), esp pp 67–80.
2. Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, (1974).
3. Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,

1. Stacey, Blake C, Sporadic SICs and Exceptional Lie Algebras, sunclipse, December 30, 2018
2. Duke, Andrew Cameron, Cube-like regular incidence complexes, Northeastern University, 2014
3. Krishnan, R and Harrison, PF and Scott, WG. Fully constrained Majorana neutrino mass matrices using ${\displaystyle {\mathit {\Sigma }}(72\times 3)}$. The European Physical Journal C (Springer). 2018, 78 (1): 74.
4. Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
5. Coxeter, Complex Regular polytopes,^[4] p.123
6. Briand, Emmanuel and Luque, Jean-Gabriel and Thibon, Jean-Yves and Verstraete, Frank. The moduli space of three-qutrit states. Journal of mathematical physics (AIP). 2004, 45 (12): 4855––4867.
7. Complex Regular Polytopes,^[4] 11.1 Regular complex polygons p.103
8. Coxeter, HSM. The equianharmonic surface and the Hessian polyhedron. Annali di Matematica Pura ed Applicata (Springer). 1974, 98 (1): 77––92.
9. Complex Regular Polytopes,^[4] 11.1 Regular complex polygons p.103
10. de Wet, JA, A Standard Model Algebra, International Mathematical Forum 7 (51), 2012, 7 (51): 2519––2524
11. Lei, Y. Hessian Polyhedra, Invariant Theory and Appell Hypergeometric Functions. World Scientific Publishing Company. 2018: p.127. ISBN 9789813209497. 引文格式1维护：冗余文本 (link)