Субгармонічна функція

В математиці субгармонічними і супергармонічними функціями називають важливі класи функцій багатьох дійсних змінних, що є узагальненнями гармонічних функцій і мають широке застосування в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, комплексному аналізі, теорії потенціалу.

Означення

Нехай ${\displaystyle G\subset {\mathbb {R} }^{n}.}$ Функція ${\displaystyle u\colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$ змінної ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$ називається субгармонічною якщо для неї виконуються умови:

1. ${\displaystyle u(x)}$ є напівнеперервною зверху в ${\displaystyle G;}$
2. Якщо ${\displaystyle {\overline {B(x_{0},r)}}}$ — довільна замкнута куля з центром в ${\displaystyle x_{0}}$ і радіусом ${\displaystyle r,}$ що міститься в ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle h}$ — дійснозначна неперервна функція визначена на ${\displaystyle {\overline {B(x_{0},r)}},}$ що є гармонічною в ${\displaystyle B(x_{0},r)}$ і для якої ${\displaystyle u(x)\leqslant h(x)}$ для всіх ${\displaystyle x}$ на границі ${\displaystyle \partial B(x_{0},r)}$ кулі ${\displaystyle B(x_{0},r)}$ то також ${\displaystyle u(x)\leq h(x)}$ для всіх ${\displaystyle x\in B(x_{0},r);}$
3. ${\displaystyle \varphi (x)\not \equiv -\infty .}$

Другу умову можна записати кількома еквівалентними способами, зважаючи на властивості гармонічних функцій. Зокрема в тих же позначеннях умову можна записати через інтеграл на сфері. Існує як завгодно мале число ${\displaystyle r,}$ таке що

${\displaystyle u(x_{0})\leqslant I(u;x_{0},r)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}u\,d\sigma .}$

де ${\displaystyle \omega _{n}}$ — об'єм одиничної кулі в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Еквівалентно умову можна записати через інтеграл по об'єму кулі:

${\displaystyle u(x_{0})\leqslant J(u;x_{0},r)={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x_{0},r)}u\,dy.}$

Функція ${\displaystyle u(x)}$ називається супергармонічною якщо ${\displaystyle -u(x)}$ є субгармонічною функцією.

Комплексні змінні

Якщо ${\displaystyle u\in C^{2}(G)}$ то вона є субгармонічною тоді і тільки тоді коли оператор Лапласа ${\displaystyle \ \Delta u}$ є невід'ємним.

На комплексній площині функція комплексної змінної називається субгармонічною, якщо вона є субгармонічною функцією двох дійсних змінних (дійсної і уявної частини комплексної змінної). Тоді в позначеннях комплексного аналізу другу умову у визначенні можна записати як:

${\displaystyle u(z)\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(z+r\mathrm {e} ^{i\theta })\,d\theta ,}$

де коло і обмежений ним круг знаходяться в області визначення функції. Подібно поняття субгармонічних і супергармонічних функцій вводиться і для комплексних просторів вищих порядків.

Ріманів многовид

Нехай M — ріманів многовид і ${\displaystyle f:\;M\to {\mathbb {R} }}$ є напівнеперервною функцією. f називається субгармонічною якщо для кожної відкритої підмножини ${\displaystyle U\subset M}$ і довільної гармонічної функції f₁ на U, для якої ${\displaystyle f_{1}\geq f}$ на границі множини U, нерівність ${\displaystyle f_{1}\geq f}$ виконується всюди на U.

Як і раніше для двічі неперервно диференційовних функцій рівносильною є умова на оператор Лапласа: ${\displaystyle \Delta f\geq 0}$.

Властивості

• Функція є гармонічною тоді і тільки тоді, коли вона є одночасно субгармонічною і супергармонічною.
• Якщо ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{k}}$ є субгармонічними функціями в області ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}}$ — додатні дійсні числа, то лінійна комбінація ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}u_{i}}$ теж є субгармонічною функцією.
• Верхня межа ${\displaystyle \sup\{u_{i}(x):1<i<k\}}$ скінченної множини субгармонічних функцій ${\displaystyle u_{i}(x)}$ є субгармонічною функцією. Якщо супремум нескінченної множини субгармонічних функцій є напівнеперервною зверху функцією, то він є також субгармонічною функцією.
• Рівномірно збіжна і монотонно спадна послідовності субгармонічних функцій збігаються до субгармонічних функцій.
• Якщо ${\displaystyle u(x)}$ — субгармонічна функція в ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle \varphi (u)}$ — опукла неспадна функція на області значень функції ${\displaystyle u(x)}$ в ${\displaystyle G}$, або якщо ${\displaystyle u(x)}$ — гармонічна функція в ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle \varphi (u)}$ — опукла функція в тій же області значень, то ${\displaystyle \varphi (u(x))}$ — субгармонічна функція в ${\displaystyle G}$. Зокрема, якщо ${\displaystyle u(x)}$ — субгармонічна функція в ${\displaystyle G}$, то ${\displaystyle e^{\lambda u(x)},\;\lambda >0}$, і ${\displaystyle (u^{+}(x))^{k},\;k\geqslant 1,}$ де ${\displaystyle u^{+}(x)=\max\{u(x),0\}}$ є субгармонічними функціями в ${\displaystyle G}$; якщо ${\displaystyle u(x)}$ — гармонічна функція в ${\displaystyle G}$, то ${\displaystyle |u(x)|^{k},\;k\geqslant 1}$ — субгармонічна функція в ${\displaystyle G}$.
• Максимум субгармонічної функції не може досягатися у внутрішній точці її області визначення, якщо ця функція не є константою.Мінімум функції натомість може досягатися у внутрішній точці. Відповідно для супергармонічних функцій у внутрішніх точках області визначення може досягатися максимум функції але не мінімум.
• Якщо ${\displaystyle u(x)}$ — субгармонічна функція в області ${\displaystyle G}$ комплексного простору ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ і ${\displaystyle \varphi (w)}$ — голоморфне відображення області ${\displaystyle G'\subset \mathbb {C} ^{n}}$ в ${\displaystyle G}$, то ${\displaystyle u(\phi (w))}$ є субгармонічною функцією в ${\displaystyle G'.}$
• Якщо ${\displaystyle u(x)}$ — субгармонічна функція у всій площині ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, що є обмеженою зверху, то ${\displaystyle u(x)=const.}$ (в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ аналогічне твердження не є правильним)

Середні значення субгармонічних функцій

• Якщо ${\displaystyle u(x)}$ є субгармонічною функцією на кільці ${\displaystyle r_{1}\leqslant r=|x-x_{0}|\leqslant r_{2},\;0\leqslant r_{1}<r_{2}}$, то визначені вище функції ${\displaystyle I(u;x_{0},r)}$ і ${\displaystyle J(u;x_{0},r)}$ (при ${\displaystyle r_{1}=0}$), також ${\displaystyle M(u;x_{0},r)=\max\{u(x):|x-x_{0}|=r\}}$є опуклими, як функції від ${\displaystyle \ln r}$ при ${\displaystyle n=2}$ і ${\displaystyle r^{2-n}}$при${\displaystyle n\geqslant 3}$.
• Якщо ${\displaystyle u(x)}$ є субгармонічною функцією на кулі${\displaystyle 0\leqslant r=|x-x_{0}|\leqslant r_{2},}$то ${\displaystyle I(u;x_{0},r)}$ і ${\displaystyle J(u;x_{0},r)}$ є неперервними і неспадними функціями від ${\displaystyle r}$ (вважається ${\displaystyle u(x_{0})=J(u;x_{0},0)=I(u;x_{0},0)}$) і також для ${\displaystyle 0\leqslant r_{1}\leqslant r_{2}:}$

${\displaystyle u(x_{0})\leqslant J(u;x_{0},r)\leqslant I(u;x_{0},r).}$

• Функції ${\displaystyle I(u;x,r)}$ і ${\displaystyle J(u;x,r)}$ як функції ${\displaystyle x}$ при фіксованих інших параметрах є субгармонійними функціями у своїх областях визначення і ${\displaystyle J(u;x,r)}$ також є неперервною функцією.

Теорема Ріса

Ньютонів потенціал і логарифмічний потенціал невід'ємних мас, взяті зі знаком мінус, є субгармонічними функціями всюди в просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

З іншого боку, однією з основних в теорії субгармонічних функцій є теорема Ріса про локальне представлення довільної субгармонічної функції у вигляді суми гармонічної функції і взятого зі знаком мінус потенціалу.

Якщо ${\displaystyle u}$ є субгармонічною функцією в області ${\displaystyle G}$ просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то для кожної компактної підмножини ${\displaystyle D\subset G}$ справедливим є розклад:

${\displaystyle u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|x-y|^{n-2}}},\quad n\geq 3}$

і для розмірності 2,

${\displaystyle u(x)=v(x)+\int _{D}\log |x-y|d\mu (y),}$

де ${\displaystyle v}$ — гармонічна функція, ${\displaystyle \mu }$ — міра Бореля в ${\displaystyle G}$.

Якщо ${\displaystyle D}$ є зв'язаною компактною множиною, то також можна здійснити розклад:

${\displaystyle u(x)=v'(x)-\int _{D}g(x,y)d\mu (y),}$

де ${\displaystyle v}$ — найкраща гармонічна мажоранта, ${\displaystyle g(x,y)}$ — функція Гріна.

Див. також

• Гармонічна функція

Література

• Πρивалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937;
• Хейман У., Кеннеди П., Субгармонические функции, пер. с англ., М., 1980;
• Rado T., Subharmonic functions, В., 1937;