Верхня та нижня межа

Верхня та нижня межа (мажоранта та міноранта) — в теорії порядку, це межі підмножини в частково впорядкованій множині.

Множина, її верхні межі та супремум.

Визначення

Для підмножини ${\displaystyle X}$ частково впорядкованої множини ${\displaystyle (P,\leq )}$ :

Міноранта чи нижня межа ${\displaystyle X}$ — елемент ${\displaystyle a\in P}$, такий що ${\displaystyle \forall x\in X:\quad a\leqslant x}$.

Мажоранта чи верхня межа ${\displaystyle X}$ — елемент ${\displaystyle b\in P}$, такий що ${\displaystyle \forall x\in X:\quad x\leqslant b}$.

Пов'язані визначення

Докладніше: Інфімум та супремум

Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини ${\displaystyle X}$, називається найменший елемент ${\displaystyle P}$, який є мажорантою ${\displaystyle X}$.

Позначається ${\displaystyle \sup X}$.

Більш формально:

${\displaystyle S_{X}=\{b\in P\mid \forall x\in X\!:x\leqslant b\}\!}$ — множина мажорант ${\displaystyle X}$, тобто елементів ${\displaystyle P}$, рівних чи більших за всі елементи ${\displaystyle X}$

${\displaystyle s=\sup(X)\iff s\in S_{X}\land \forall b\in S_{X}\!:s\leqslant b.}$

Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини ${\displaystyle X}$, називається найбільший елемент ${\displaystyle P}$, який є мінорантою ${\displaystyle X}$.

Позначається ${\displaystyle \inf X}$.

Зауваження

Докладніше: Найбільший та найменший елемент та Максимальні та мінімальні елементи

• Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
• Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума.
• Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.

• Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
• І навпаки, для підмножини ${\displaystyle X}$:
  • якщо ${\displaystyle i=\inf(X)\in X}$, то ${\displaystyle i}$ є найменшим елементом та мінімумом ${\displaystyle X}$, позначається ${\displaystyle i=\min _{x\in X}x}$.
  • якщо ${\displaystyle s=\sup(X)\in X}$, то ${\displaystyle s}$ є найбільшим елементом та максимумом ${\displaystyle X}$, позначається ${\displaystyle s=\max _{x\in X}x}$.

Приклади

• На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум. ${\displaystyle \inf }$ такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
• Для множини ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{3}},\;\ldots \right\}}$

${\displaystyle \sup S=1}$; ${\displaystyle \inf S=0}$.

• Множина додатних раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}}$ не має точної верхньої грані в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, точна нижня грань ${\displaystyle \inf \mathbb {Q} _{+}=0}$.
• Множина ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}}$ раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої грані в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то

${\displaystyle \sup X={\sqrt {2}}}$ та ${\displaystyle \inf X=-{\sqrt {2}}}$.

Теорема про грані

Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню грань; обмежена знизу — нижню грань. Тобто існує ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ такі, що

${\displaystyle b=\sup X{\begin{cases}\forall x\in X\Rightarrow x\leqslant b\\\forall b^{'},b^{'}<b\Rightarrow \exists x\in X\land x>b^{'}\end{cases}}(1.1)}$

${\displaystyle a=\inf X{\begin{cases}\forall x\in X\Rightarrow x\geqslant a\\\forall a^{'},a^{'}>a\Rightarrow \exists x\in X\land x<a^{'}\end{cases}}(1.2)}$

Властивості

• З теореми про грані, для будь-якої обмеженої зверху підмножини ${\displaystyle \mathbb {R} }$, існує ${\displaystyle \sup }$.
• З теореми про грані, для будь-якої обмеженої знизу підмножини ${\displaystyle \mathbb {R} }$, існує ${\displaystyle \inf }$.
• Дійсне число ${\displaystyle s}$ є ${\displaystyle \sup X}$ тоді й лише тоді, коли:
  1. ${\displaystyle s}$ є верхня грань ${\displaystyle X}$ тобто для всіх елементів ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle x\leqslant s}$;
  2. Для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ знайдеться ${\displaystyle x\in X}$, такий, що ${\displaystyle x+\varepsilon >s}$.(тобто до ${\displaystyle s}$ можна скільки завгодно «близько підібратися» з множини ${\displaystyle X}$)
• Аналогічне твердження справджується для точної нижньої грані.

Див. також

• Верхня множина
• Двоїстість (теорія порядку)
• Інфімум та супремум
• Найбільший та найменший елемент
• Максимальні та мінімальні елементи

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)